2. СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ

Скалярное и энергетические произведения. Скалярным произведением элементов называется величина

(см. скан)

где под знаком интеграла стоит сумма произведений одноименных компонент вектор функций

Энергетические произведения вводят при помощи квадратичных функционалов из формулы (4). А именно, произведением элементов по кинетической энергии называют билинейный функционал в соотношении

а произведением элементов по потенциальной энергии — билинейный функционал в соотношении

Энергетические произведения симметричны по отношению к сомножителям и связаны с энергетическими функционалами формулами

При

Для конкретных упругих систем эти равенства доказываются интегрированием по частям (если система одномерна) или применением формулы Гаусса — Остроградского. Примеры скалярных и энергетических произведений для некоторых систем приведены в табл. 1 и 2.

Свойства операторов уравнений свободных колебаний. Операторы являются самосопряженными, т. е. для них на любых из области определения этих операторов выполняются равенства

Операторы являются положительно определенными, т. е. для них на любом при справедливы неравенства

Исключения могут встретиться в некоторых переупрощенных схемах. Например, если массу некоторых элементов системы принять равной нулю при отличной от нуля упругой податливости, то

Для ограниченных упругих систем обратный оператор является вполне непрерывным (исключения могут составить системы с сильно «заостренными» элементами, однако эти системы следует рассматривать как искусственно сконструированные примеры). Определение вполне непрерывного оператора требует использования понятия сходимости и компактности в гильбертовых пространствах. Вполне непрерывный оператор улучшает сходимость последовательностей в соответствующем пространстве, преобразуя ограниченную последовательность в компактное множество, слабо сходящуюся последовательность в последовательность, сходящуюся по норме, и т. п.

Интегральные уравнения собственных колебаний. Для большинства задач теории упругих колебаний оператор реализуется в форме интегрального оператора с симметричным регулярным или слабо полярным ядром

Уравнению (13) соответствует интегральное уравнение Фредгольма или родственное ему интегро-дифференциальное уравнение (если оператор А — дифференциальный):

Свойства собственных частот и собственных форм. В дальнейшем будем считать, что операторы самосопряженные и положительно определенные, а оператор вполне непрерывный.

Спектр собственных частот — дискретный (точечный) и не имеет точек сгущения, кроме, может быть, бесконечно удаленной точки. Все собственные частоты — действительные. Спектр собственных частот упорядочивается в порядке возрастания

а собственным формам придается номер соответствующей частоты.

Свойства собственных форм. Собственные формы колебаний попарно ортогональны по кинетической энергии, т. е.

Собственные формы колебаний попарно ортогональны по потенциальной энергии, т. е.

Собственные формы образуют в полный базис, т. е. любой элемент может быть представлен в форме ряда

который, во всяком случае, сходится по энергетической норме.

Перечисленные факты являются аналогами свойств собственных частот и собст венных форм линейных консервативных систем с конечным числом степеней свободы (см. гл. III). При этом разложение (18) соответствует введению нормальных координат, а его коэффициенты аналогичны нормальным обобщенным координатам.