Глава II. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

В настоящей главе изложены методы математического описания механических систем с конечным числом степеней свободы. Существование аналогий между математическим описанием механических, электрических и тому подобных систем позволяет переносить результаты, сформулированные для механических систем, на системы иной природы.

Уравнения динамики системы материальных точек. Рассмотрим систему материальных точек с массами (рис. 1). Радиус-вектор массы относительно некоторой инерциальной системы координат обозначим через Векторы скоростей и ускорений обозначим соответственно через и

Внешние силы, характеризующие взаимодействие системы с окружающей средой, обозначим через Внутренние силы, т. е. силы взаимодействия между точками системы, обозначим через где первый индекс указывает номер массы на которую действует сила, второй индекс — номер массы стороны которой эта сила действует. Всюду в дальнейшем полагаем, что справедлив третий закон Ньютона

Главный вектор всех внутренних сил, действующих на массу, обозначим через Третью группу сил образуют реакции связей, т. е. силы, действие которых на систему эквивалентно действию рассматриваемых связей. Главный вектор всех реакций, действующих на массу обозначим через

Уравнения динамики системы материальных точек имеют вид

Эта система уравнений не является замкнутой, поскольку содержит неизвестные реакции связей.

Рис. Система материальных точек

Классификация связей. Связи описываются при помощи равенств и неравенств относительно координат и скоростей точек, образующих систему Различают связи удержи вающие, условия которых выражаются в виде равенств, и неудерживающие, условия которых за писываются в виде неравенств. Уравнение удерживающей связи, наложенной на движение системы, имеет вид

Связь называют стационарной (склерономной), если время не входит явно в уравнение связи; в противном случае она нестационарная (реономпая). Связь называют геометрической, если она накладывает ограничения только на положение (на координаты) точек системы; в уравнение геометрической связи не входят векторы скоростей. В противном случае ее называют кинематической или дифференциальной. Связь называют голономной, если она является геометрической или интегрируемой дифференциальной связью, т. е. уравнение связи может быть приведено к виду

Неинтегрируемые дифференциальные связи называют неголономными.

Малые перемещения точек системы, совместимые с уравнениями связей, называют виртуальными или возможными перемещениями системы. Они обозначаются через Связь называют идеальной, если работа ее реакции на любых виртуальных перемещениях равна нулю. Если все связи, наложенные на систему, идеальны, то для любых виртуальных перемещений системы будет выполняться условие

В дальнейшем будем полагать все связи удерживающими и голономными.

Замкнутая система уравнений динамики. Пусть на систему наложено связей, выражаемых равенствами типа (4). Добавляя к уравнениям (2) уравнения связей, получим замкнутую систему

содержащую неизвестных функций координат материальных точек системы и составляющих реакций).

Основные теоремы динамики системы материальных точек. Введем вектор

и псевдовектор (аксиальный вектор)

Вектор называют количеством движения (импульсом) системы, а псевдовектор К — главным моментом количества движения (кинетическим моиентом, моментом импульса) системы относительно начала выбранной системы координат. Из уравнений (2) следует теорема об изменении количества движения системы

и теорема об изменении главного момента количества движения системы

Здесь главный вектор всех внешних сил и всех реакций, действующих на систему, главный момент перечисленных сил относительно начала координат. В соотношениях (8) и (10) вместо начала координат можно взять любую точку, неподвижную относительно выбранной системы координат. Существенно, что внутренние силы, связанные соотношением (1), в правые части уравнений (9) и (10) не входят. Введем скалярную величину

называемую кинетической энергией системы. Из уравнений (2) следует математическая формулировка теоремы об изменении кинетической энергии системы:

В правой части уравнения (12) записана работа всех внешних и внутренних сил и всех реакций связей на элементарных перемещениях точек системы. Если все связи идеальные, т. е. выполняется условие (5), то работа реакций в правую часть формулы (12) не входит.

Пусть все связи идеальные, а элементарная работа всех внешних и внутренних сил является взятым с обратным знаком полным дифференциалом некоторой функции координат:

Функцию называют потенциальной энергией системы. Из и (13) следует математическая формулировка теоремы о сохранении полной механической энергии:

Силы, удовлетворяющие условию (13), называют потенциальными или консервативными, а механические системы, для которых выполняется теорема о сохранении полной механической энергии, называют консервативными.

Принцип Даламбера. Составление уравнений динамики для конкретных механических систем значительно облегчается, если использовать принцип Даламбера:

уравнения динамики механической системы формально совпадают с уравнениями равновесия этой системы, если к действующим внешним силам, внутренним силам и реакциям связей добавить фиктивные (даламберовы) силы инерции:

Рис. 2. Инерциальная и подвижная системы координат

С учетом (15) уравнения (2) принимают вид

Общее уравнение динамики Даламбера-Эйлера. Уравнения динамики системы материальных точек и уравнения связей (6) эквивалентны следующему утверждению: движение системы происходит так, что в любой момент времени сумма работ всех внешних и внутренних сил, реакций связей и даламберовых сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю. Аналитическая запись этого утверждения имеет вид

и называется общим уравнением динамики. Если все связи идеальные, то работа реакций связей в общее уравнение динамики не входит.

Уравнения динамики относительного движения. Пусть движение системы описывается в некоторой подвижной (неинерциальной) системе отсчета Наряду с этой системой введем неподвижную (инерциальную) систему (рис. 2). Движение по

отношению к подвижной системе отсчета будем называть относительным, движение по отношению к неподвижной системе — абсолютным. Движение подвижной систры отсчета по отношению к неподвижной системе называется переносным. Движение материальной точки в системе отсчета будем характеризовать радиус-вектоосм и относительным ускорением Абсолютное ускорение

где и — соответственно переносное и кориолисово ускорения.

С учетом выражений (2) и (18) уравнения динамики относительного движения принимают вид

где в правой части стоят переносные и кориолисовы силы инерции, приложенные к массе

Принцип Даламбера для относительного движения формулируется следующий образом: уравнения динамики для относительного движения формально совпадают с уравнениями равновесия этой системы, если к действующим внешним силам, внутренним силам и реакциям связи добавить фиктивные (даламберовы) силы инерции относительного движения, а также переносные и кориолисовы силы инерции.

Движение системы материальных точек относительно центра масс. Центром масс называется точка, радиус-вектор которой

Движение центра масс определяется теоремой, вытекающей из уравнений (9) и (21): центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка, масса которой равна суммарной массе системы, под действием силы, равной главному вектору всех внешних сил и реакций, действующих на систему.

Движение в системе отсчета, которая перемещается поступательно вместе с центром масс, происходит так, что выполняются следующие две теоремы (в аналитической формулировке): теорема об изменении главного момента количества движения в относительном движении

и теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении

Здесь

— главный момент количества движения относительно центра масс; соответственно радиус-векторы и скорости материальных точек в системе координат, которая движется поступательно вместе с центром масс; главный момент всех внешних сил и реакций связи относительно центра масс; V — кинетическая энергия системы, соответствующая скоростям материальных точек в движении относительно центра масс.