Глава X. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ УПРУГИХ СИСТЕМ
1. ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ
Собственные частоты и собственные формы колебаний являются собственными значениями и собственными элементами краевой задачи для уравнения (3) гл. IX при краевых условиях
Одномерные системы 
Функция 
входящая в (3) гл. IX, зависит только от одной координаты 
Точное решение можно построить, если удается найти фундаментальную систему для (3) гл. IX: 
Функции 
зависят от частоты 
как от параметра. Общее решение
содержит столько констант, сколько необходимо для удовлетворения краевым условиям (1). Подстановка (2) в краевые условия приводит к системе линейных алгебраических уравнений типа
условие существования ненулевого решения которой [равенство нулю определителя системы (2)] дает уравнение частот
Корни уравнения (4) есть собственные частоты системы, а ненулевое решение системы (3), отвечающее какому-либо корню уравнения (4), определяет форму колебаний, происходящих с соответствующей частотой.
Двухмерные системы 
Метод разделения переменных. Пусть упругое тело занимает прямоугольную в обобщенном смысле область с границами, совпадающими с координатными линиями 
Краевой задачей с разделяющимися переменными называют задачу, собственные функции которой могут быть представлены в виде произведения функций каждого аргумента в отдельности:
Краевой задачей с квазиразделяющимися переменными называют задачу, которая соответствующим выбором краевых условий (1) превращается в задачу с разделяющимися переменными, т. е. допускает решение вида (5); кроме того, она допускает решение в виде
причем подстановка (6) в (3) гл. IX приводит к уравнению относительно 
а вид решения (6) переводит (1) в условия, содержащие только
Пример. Для двухмерных систем, движение которых описывается одним уравнением с постоянными коэффициентами, переменные разделяются, если все края свободно оперты или на них реализуется «плавающая» заделка. К разделению переменных приводит решение в виде
Значения волновых чисел 
и фазовых постоянных 
для различных сочетаний условий даны в табл. 1.
Случай с квазиразделяющимися переменными в двухмерных системах реализуется, когда два противоположных края свободно оперты, либо на них имеет место «плавающая» заделка В этом случае решение имеет вид
а для 
получается одномерная краевая задача на собственные значения
1. Значения волновых чисел и фазовых постоянных для различных типов краевых условий
(см. скан)
Метод факторизации. Если операторы исходного уравнения таковы, что результат их действия можно представить как последовательное действие двух операторов при условии коммутативности
и у уравнений
известны фундаментальные системы решений 
то в качестве фундаментальной системы (3) гл. IX можно взять совокупность фундаментальных систем уравнений (10). Общее решение имеет вид
После удовлетворения (1) из условия существования ненулевого решения получается уравнение частот,
