3. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

3. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ТЕОРИИ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ

Формула Релея. Собственные частоты и соответствующие им собственные формы связаны между собой тождественным соотношением

которое непосредственно следует из уравнения (3). Выражение, стоящее в правой части формулы (19), будем называть дробью Релея. Формула Релея может быть также записана в одном из следующих вариантов:

Последний вариант поясняет энергетический смысл формулы Релея.

Основной вариационный принцип. Среди форм движения истинными формами собственных колебаний будут те, которые сообщают дроби Релея стационарные значения. Этот принцип является отправной точкой для получения ряда других вариационных принципов. В дальнейшем будем выражать дробь Релея через энергетические функционалы. Это позволит расширить область допустимых функций за счет функций, которые удовлетворяют кинематическим граничным условиям, но не обязательно динамическим. Кроме того, снижаются требования к дифференцируемости функций (требуется существование производных, входящих в энергетические произведения, что уменьшает вдвое требуемый порядок производных). Дополненное таким образом энергетическое пространство будем обозначать через

Среди всех истинными собственными формами колебаний будут те, которые удовлетворяют одному из следующих эквивалентных условий стационарности

Вариационный принцип Релея. Низшая (основная) собственная частота упругой системы удовлетворяет соотношению

где к сравнению допускаются любые ненулевые элементы энергетического пространства

Для определения высших собственных частот и собственных форм служит расширенный вариационный принцип Релея собственная частота удовлетворяет соотношению

где подпространство энергетического пространства элементы которого удовлетворяют условиям ортогональности

Иначе говоря, при определении собственной частоты и соответствующей формы к сравнению допускаются только те элементы, которые ортогональны ко всем низшим формам колебаний.