4. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Определение марковского процесса. Случайный процесс называют марковским или процессом без последействия, если для любых моментов времени выполняется условие

Условная плотность вероятности

Марковский процесс полностью определяется начальным распределением и переходной вероятностью равной условной плотности вероятности перехода из состояния в состояние

Интегральное и дифференциальные уравнения для переходной вероятности. Переходная вероятность удовлетворяет интегральному уравнению Смолу ховского

и дифференциальному уравнению параболического типа

где - интенсивности марковского процесса, вводимые при помощи соотношений

Решение уравнения (32) должно удовлетворять начальному условию

Для непрерывного марковского процесса все при Уравнение (32) принимает вид

его называют уравнением Фоккера — Планка — Колмогорова. Интенсивности соответственно коэффициенты сноса и диффузии. Переходная вероятность как функция переменных удовлетворяет также уравнению

которое является сопряженным по отношению к (34).

Многомерный марковский процесс. Векторный случайный процесс называют n-мерным марковским процессом, если его исчерпывающей характеристикой является переходная вероятность удовлетворяющая уравнению Колмогорова

с начальным условием Интенсивности равны

где значение случайного векторного процесса в момент времени Обратное уравнение Колмогорова имеет вид

где компоненты вектора