8. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Применение метода к одномерным системам. Обласгь определения уравнения (3) гл. IX делится на интервалов точками

Ограничимся случаем равных интервалов

Неизвестную функцию представляют дискретным множеством значений в узлах (математическая дискретизация). Аналогичную операцию выполняют с коэффициентами операторов из (3) гл. IX. Дифференциальные операторы аппроксимируются конечными (центральными) разностями в точке х

и т. д. Уравнение (3) гл. IX заменяют системой алгебраических уравнений относительно составленных для внутренних точек области Контурные и законтурные значения функции определяют из разностной аппроксимации граничных условий. Например, из следует

Рис. 1. Схемы разностной аппроксимации смешанных производных

Условие существования нетривиального решения однородной системы алгебраических уравнений относительно дает уравнение собственных частот.

Применение метода конечных разностей к двухмерным системам. Выбирают сетку значений координат Неизвестные функции аппроксимируют дискретным множеством значений Дифференциальные операторы заменяют разностными. Некоторые схемы составления центрально-разностных операторов показаны на рис. 1 (в кружках даны весовые коэффициенты), остальные аналогичны одномерному случаю. После составления системы разностных уравнений для внутренних точек области удобно перенумеровать подряд все узлы сетки и соответствующие значения функций

Законтурные значения, как и в одномерных системах, исключают из граничных условий. Для границы, ие совпадающей с координатной линией, область определения сеточной функции должна включать в себя область определения Далее, функция должна быть разложена в ряд Тейлора в точках пересечения границы с линиями сетки. Значения сеточной функции в законтурных точках получаются выра женными через граничные условия и значения во внутренних точках. Для обеспечения такого же порядка точности, как в уравнениях для внутренних точек, в разложениях необходимо удержать члены до порядка, совпадающего с порядком уравнения.

Порядок точности. Сходимость разностной аппроксимации. Все приведенные выше конечно-разностные соотношения имеют второй порядок аппроксимации [30, 95], что соответствует удержанию в разложении в ряд Тейлора слагаемых до второго порядка включительно. В этом случае конечно-разностная аппроксимация сходится к точному решению при со скоростью где максимальный шаг. Если требуется повысить скорость сходимости, необходимо повысить

порядок аппроксимации. На рис. 2 показаны некоторые разностные операторы четвертого порядка аппроксимации [30 , 95].

Устойчивость разностных схем. Устойчивыми называют такие разностные схемы, решения которых непрерывно зависят от параметров системы и равномерно от Для сложных систем априорные оценки устойчивости затруднены, поэтому о них судят, непосредственно сопоставляя результаты вычислений для различных значений и входных параметров.

Рис. 2. Разностная аппроксимация производных четвертого порядка точности

Для двухмерных систем отношение шагов зависит от отношения порядков старших производных по и коэффициентов при дифференциальных операторах. Например, для необходимо выполнение условия для необходимо

Методы решения разностных уравнений. При вычислении собственных частот разностными методами используют стандартные процедуры отыскания собственных значений матриц. Для построения форм собственных колебаний системы разностных уравнений наиболее часто решают методом прогонки в различных модификациях, в частности, методом матричной прогонки . В случае периодических решений (полярные координаты) применяют метод циклической прогонки [30, 95).