4. ШИРОКОПОЛОСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Предварительные замечания. Обычный метод расчета вынужденных колебаний упругих систем основан на разложении искомого решения по собственным элементам соответствующей задачи собственных колебаний (см. гл. Ответ на вопрос о том, при каких условиях допустимо аппроксимировать систему с дискретным спектром системой со сплошным спектром, дает теория распределения собственных частот (см. гл. IX). Эта теория применима и к задачам случайных колебаний [13].

Интегральные оценки для вероятностных характеристик. Рассмотрим некоторый параметр напряженно-деформируемого состояния системы который можно представить в виде ряда

Функции здесь таковы, что почти все обобщенные координаты достаточно равномерно представлены в (55).

Пусть уравнение (2) после подстановки ряда (40) приводится к виду

Предположим, что выполняются следующие условия: плотность собственных частот достаточно высока; для частот и форм колебаний могут быть взяты асимптотические выражения (см. гл. IX); и спектральные плотности обобщенных сил могут быть представлены в виде функций волнового вектора к; перечисленные функции мало изменяются на расстояниях, сопоставимых с размером одной ячейки в пространстве волновых чисел. Тогда, пренебрегая взаимной корреляцией обобщенных координат, для дисперсии функции при достаточно малом демпфировании получаем

Рис. 2. Интегральные оценки для дисперсий перемещений и напряжений в тонкой упругой пластине

Заменяя функции индекса а соответствующими функциями от волнового вектора к, а суммирование в формуле (56) — интегрированием в пространстве волновых чисел, получим интегральную оценку

где объем ячейки в К, соответствующий одному слагаемому в (56).

На рис. 2 приведены оценки типа (56) и (57) для дисперсии перемещений и напряжений в тонкой упругой пластине под действием нагрузки, которая представляет собой усеченный временной белый шум [13]. При этом нижняя и верхняя частоты спектра.

Для временной спектральной плотности функции получаем аналогичную оценку:

При некоторых условиях асимптотическая плотность частот явно входит в окончательные аналитические результаты. Если функции с и

медленно меняются по сравнению с асимптотической функцией распределения собственных частот то, применяя теорему о среднем, выражение (58) можно представить в виде

Таким образом, если функция при некоторой частоте имеет особенность, то эта особенность сохраняется в спектральной плотности.

Пример. Рассмотрим изгибные колебания упругой защемленной по контуру пластины под действием случайных сил с широким спектром. Пусть центрированная нормальная нагрузка на пластину задана при помощи функции где временная спектральная плотность.

Дисперсии перемещений и максимальных нормальных напряжений во внутренней области пластины определяются согласно (57) по формулам [13]

При тех же условиях дисперсия максимальных нормальных напряжений в заделке

Применение метода статистического моделирования. Этот метод для исследования случайных колебаний в распределенных системах особенно эффективен в сочетании с методом обобщенных координат. Статистическое моделирование в этом случае осуществляют по следующей схеме На основании заданных вероятностных характеристик внешнего воздействия моделируют реализации компонент вектора обобщенных сил (42). Для каждой полученной реализации компонент вектора воспроизводят реализации компонент вектора обобщенных координат Эту задачу можно решить методами, изложенными в гл. XVIII. Реализации вектора состояний системы вычисляют при помощи разложений (40). Статистические оценки вероятностных характеристик находят путем обработки ансамбля полученных реализаций.