4. СИСТЕМЫ, ВОЗБУЖДАЕМЫЕ БЕЛЫМИ ШУМАМИ
Предварительные замечания. Используя метод моментных функций и определение устойчивости по совокупности моментных функций, рассмотрим систему с двумя степенями свободы
где
белый шум интенсивностью
Типичные матрицы В, составленные из коэффициентов
имеют вид
При
матрицы (35) соответствуют гамильтоновским системам, матрицы (36) — негамильтоновским.
Систему уравнений относительно моментных функций
порядка
векторного процесса
запишем в матричной форме
Уравнения (37) могут быть исследованы численно, а в некоторых случаях аналитически.
Условия устойчивости имеют вид [72]
Устойчивость по моментам высоких порядков. Области асимптотической устойчивости могут быть получены относительно моментных функций различного порядка. Однако при повышении уровня замыкания
изменяется определение стохастической устойчивости. Вопрос о том, насколько результат зависит от определения устойчивости, может быть исследован на примере стохастического аналога уравнения Матье — Хилла
Рис. 1. Границы областей устойчивости уравнения Матье-Хилла с коэффициентами, возбуждаемыми случайными процессами: а — в — частота, возбуждаемая белым шумом,
экспоненциально-коррелированным процессом,
процессом со скрытой периодичностью,
частота и демпфирование, возбуждаемые: белыми шумами Ито (штриховая линия
и Стратоновича (сплошная линия —
экспоненциально-коррелированными процессами,
Результаты численного анализа [73] приведены на рис. 1, а. Увеличение порядка
моментов ведет к монотонному уменьшению критических значений параметра
Анализ показывает, что из устойчивости по отношению к моментам нечетного порядка
не следует устойчивость при
Для малых значений параметра демпфирования
границы области устойчивости практически не зависят от
Системы с двумя случайными параметрическими воздействиями. Пусть возмущенное движение системы описывается дифференциальным уравнением
коэффициенту которою возмущены гауссозскими белыми шумами
с корреляционной матрицей
Вместо зависимых шумов
можно рассматривать линейные комбинации независимых белых шумов
Для двухмерного вектора
коэффициенты сноса зависят от определения стохастического интеграла (по Ито или Стратоновичу).
Уравнения (37) для моментов можно получить разными способами. Отличные от нуля элементы матрицы А для системы стохастических уравнений в форме Стратоновича имеют вид
Трактуя белые шумы
по
получим
Коэффициенты
определяют по формулам (43). На рис. 1,г приведены границы областей устойчивости, полученных для двух форм записи стохастического интеграла при