3. МЕТОД МОМЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ

Основы метода. Метод состоит в исследовании детерминистических дифференциальных уравнений относительно моментных функций процесса. Метод позволяет исследовать устойчивость стохастических систем в среднем, в среднем квадратическом и т. п., а также устойчивость по отношению к совокупности моментных функций до некоторого порядка включительно. Применительно к системам, поведение которых является диффузионным марковским процессом, можно указать два основных способа получения этих уравнений.

Применение формулы Ито. Пусть процесс описывается дифференциальными уравнениями Рассмотрим функцию имеющую непрерывные частные производные до второго порядка включительно по х и первого порядка по Тогда стохастический дифференциал Ито от процесса

Эта формула Ито отличается от формулы дифференцирования сложных функций в математическом анализе последним членом в скобках перед Для получения уравнения, содержащего производную от моментной функции по времени, достаточно положить и провести осреднение левой и правой частей в формуле (24).

Применение уравнения Колмогорова. Запишем уравнение Колмогорова [см. (36) в гл. XVII]:

Здесь плотность вероятности вектора удовлетворяющая некоторым начальным условиям. Моментные функции связаны с плотностью вероятности соотношением

где интегрирование производится по всему фазовому пространству. Чтобы получить уравнение, содержащее производную от необходимо умножить уравнение (25) на и произвести почленное интегрирование. Интегралы в правой части преобразуются далее при помощи формулы Гаусса — Остроградского с тем, чтобы правая часть содержала в качестве неизвестных только моментные функции от процесса . В результате приходим к искомым уравнениям относительно моментных функций.

Дальнейшее исследование сводится к определению условий устойчивости нулевого решения уравнений моментных функций.

Пример. Применим метод моментных функций для лниейной колебательней системы (16). Коэффициенты уравнений (17) для случая белого шума Стратоновича имеют

Применяя одни из указанных выше способов, получим уравнения относительно математических ожиданий

Нулевое решение системы (27) асимптотически устойчиво, если

Это условие накладывает ограничение на интеисивиость белого шума в 2 раза менее жесткое, чем достаточное условие устойчивости в среднем квадратическом (23)

Модифицированный метод моментных функций. Применение метода моментных функций усложняется, если параметрические воздействия не являются белыми шумами, например, в случае, когда параметрические воздействия получаются путем пропускания нормальных белых шумов через некоторые линейные фильтры.

Пусть совокупность процессов, происходящих в фильтрах, описывается вектором размерностью совпадающей с суммарным порядком стохастических дифференциальных уравнений для фильтров. Введем расширенное -мерное фазовое пространство с элементами

Эволюция вектора в пространстве будет представлять собой диффузионный марковский процесс. Однако стохастические уравнения (24) для линейных параметрических систем оказываются нелинейными по отношению к части из компонентов вектора Поэтому уравнения относительно моментных функций образуют бесконечную систему. В уравнения, содержащие производные от моментных функций низших порядков, войдут моментные функции более высокого порядка. В связи с этим возникает проблема замыкания, т. е. приближенного сведения бесконечной системы дифференциальных уравнений к конечной системе. Кроме того, после замыкания уравнения будут содержать смешанные моменты процессов которые не входят в определение устойчивости по совокупности моментных функций. Поэтому вводят модифицированное определение устойчивости.

Гипотеза квазигауссовости. Для замыкания системы уравнений относительно моментных функций применяют гипотезу квазигауссовости, которая аналогична гипотезе Миллионщикова в теории турбулентности. При замыкании системы на уровне все моменты порядка выше связываются с моментами низших порядков

соотношениями, справедливыми для многомерного нормального процесса. Условия замыкания на уровне центральных моментов

записываются в виде

Сумма, стоящая в правой части, содержит все возможные разбиения индексов (включая повторяющиеся) на пар

Общее число слагаемых равно

Гипотеза квазигауссовости может быть сформулирована также в терминах кумулянтов (семиинвариантов):

Кумулянты случайного вектора у вводят через характеристическую функцию

следующим образом:

Замыкание на уровне эквивалентно предположению, что действительное распределение компонентов вектора близко к нормальному. Весьма правдоподобно утверждение, что повышение уровня замыкания уменьшает ограничения, накладываемые на распределение; следовательно, повышение уровня должно приводить к повышению точности. Однако модельные примеры и численный анализ фактического поведения кумулянтов показывают, что это не всегда так. Во всяком случае, до сих пор не предложено более эффективного способа замыкания [122].

Выражения для начальных моментов процесса через моменты низших порядков при различных уровнях замыкания имеют вид

В этих формулах суммирование производится по всем перестановкам индексов кроме перестановок внутри

Модифицированное определение устойчивости. Рассмотрим вектор аналогичный вектору моментных функций задаваемому формулой (10). Вектор содержит все моментные функции процесса и все смешанные моменты процессов до порядка включительно. Соответствующее евклидово пространство обозначим через а норму в нем — через

Введем следующее модифицированное определение устойчивости по совокупности моментных функций [122]: решение называют устойчивым в пространстве для заданного входного процесса если для каждого существует такое, что

Решение называют асимптотически устойчивым в пространстве для заданного входного процесса если оно устойчиво в кроме того, выполняется условие

Устойчивость в влечет за собой устойчивость в (для того же порядка ). Противоположное утверждение неверно. Если имеет ограниченные моменты до порядка включительно, то устойчивость в влечет за собой устойчивость в пространстве Для частного случая устойчивость в есть необходимое и достаточное условие устойчивости в Целесообразность модификации определения устойчивости видна из того, что после замыкания и линеаризации система дифференциальных уравнений относительно моментных функций имеет вид

т. е. содержит смешанные моменты входного и выходного процессов. При необходимости может быть исследована устойчивость по отношению к части составляющих вектора