3. СФЕРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ

Дифференциальные уравнения. Пусть оболочка отнесена к географической системе координат (а — угол широты, угол долготы). Параметры Ламе а параметры кривизны — Наиболее удачным вариантом являются уравнения Власова

где функции и связаны с перемещениями формулами

и, кроме того, использованы обозначения

Замечание. Хотя из уравнения (19) выделилось уравнение для такого разделения в граничных условиях в общем случае не происходит.

Первые два уравнения (19) при пренебрежении тангенциальными силами инерции могут быть после исключения в сведены к уравнению

из которого после упрощения можно получить уравнение

для колебаний с большой изменяемостью напряженно-деформированного состояния по поверхности оболочки. Это уравнение получается так же как результат исключения функции усилий из уравнений

Собственные колебания замкнутой сферической оболочки. Краевые условия в данном случае не ставят. Выделение временного множителя в (19) приводит к следующей системе уравнений:

и уравнению

где

Собственными функциями уравнения (26) являются поверхностные сферические функции

где присоединенные полиномы Лежандра. Собственные значения а собственные частоты

где принимает целые значения, начиная с Каждой частоте соответствует форм собственных колебаний. Например, для виды узловых линий форм собственных колебаний показаны на рис. 4. Для системы (25) решение имеет вид

Входящие в (29) функции с учетом выражения для удовлетворяют уравнениям

Из требования равенства нулю определителя системы для получаем уравнение частот

Здесь использованы обозначения

В результате решения уравнения (30) получают значения частоты, каждому из которых соответствует семейство собственных форм колебаний.

Рис. 4. Формы колебаний сферической оболочки

Среди возможных собственных форм можно выделить чисто радиальные при происходящие с частотой

При больших можно выделить две серии собственных форм колебаний: преимущественно нормальных и преимущественно тангенциальных. Для преимущественно изгибных (нормальных) форм колебаний, происходящих с более низкими частотами, можно получить приближенное выражение, если воспользоваться уравнением (23)

Замечание. Для форм колебаний (29) справедливы те же выводы, что и для (27), т. е. каждой собственной частоте соответствует форм собственных колебаний.

Колебания пологих сферических сегментов. Исходными являются уравнения для пологих оболочек. При граничных условиях, не зависящих от полярного угла, решение можно представить в виде

Уравнения (24) после исключения приводятся к виду

где

Применение метода факторизации (см. гл. IX) приводит к общему решению (33) вида

Тогда

Если сферический сегмент полный, то из условия ограниченности решения при следует, что Остальные четыре постоянные находят из условий на краю Условие существования ненулевого решения для постоянных дает уравнение частот.

Пример. Пусть на краю реализуется скользящая заделка (осесимметричные колебания)

или при .

Уравнение частот имеет вид

Тогда частоты

Здесь — корень уравнения (36).