Главная > Вибрации в технике, Т. 1. Колебания линейных систем
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава XI. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

1. ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ

Дифференциальное уравнение и краевые условия продольных колебаний стержней. В качестве исходного может быть использовано уравнение технической теории (см. гл. VIII) при Если стержень имеет постоянные по длине характеристики то уравнение для исследования собственных колебаний будет следующим:

где имеет смысл скорости распространения продольных волн в стержне (см. гл. XVI).

Функция и на концах стержня должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим характеру закрепления концов стержня. Некоторые основные виды граничных условий приведены в табл. 3 гл. VIII.

Общее решение. Для стержня, совершающего собственные продольные колебания, переменные разделяют введением временного множителя, гармонически изменяющегося со временем:

где соответственно частота и фаза колебаний. При рассмотрении собственных колебаний фаза несущественна и может быть положена равной нулю Подстановка (2) в (1) приводит к уравнению

где

Общее решение (3) можно представить в виде

Определение собственных частот и форм продольных колебаний. Подстановка (5) в краевые условия дает систему линейных однородных уравнений для определения Из условия существования ненулевого решения этой системы (равенство нулю ее определителя) следует уравнение частот. Формы собственных колебаний определяются ненулевым решением при где — одна из собственных частот. Для различных случаев закрепления концов стержня собственные частоты или уравнения для их определения и выражения для форм собственных продольных колебаний стержней представлены в табл. 1.

I. Собственные частоты и формы продольных и крутильных колебаний для некоторых граничных условий

(см. скан)

Пример. Рассмотрим процесс решения задачи определения частот и форм собственных колебании консольного стержня с сосредоточенной массой на свободном конце Из краевого условия при следует, что Из условия при (см табл 3 гл VIII) приходим к уравнению

где В правой части (6) стоит отношение массы стержня и сосредоточенной массы Со

Для различных отношений масс значения первого корня уравнения (6) приведены ниже:

Высшие частоты находят по приближенной формуле

Из рассмотрения данной задачи следуют некоторые частные случаи. При собственные частоты близки к частотам собственных колебаний консольного стержня [уравнение (6) при переходит в уравнение , что совпадает с уравнением для консольного стержня]. При очень большой массе собственные частоты будут близки к частотам для закрепленного на обонх концах стержня [уравнение (6) переходит при в частотное уравнение для закрепленного на обоих концах стержня Еще один частный случай получается, когда отношение массы стержня к сосредоточенной массе мало, так что инерционностью стержня можно пренебречь и учитывать только его упругость (переход к системе с одной степенью свободы). В этом случае

где жесткость стержня на растяжение-сжатие.

Форма собственных колебаний с учетом (5) и того, что описывается функцией

Колебания составных стержней. При получении частотного уравнения системы, состоящей из нескольких стержней и совершающей продольные колебания, может быть использован метод начальных параметров Коши. Решение (5) для каждого из участков составного стержня можно переписать так:

(для каждого участка введена своя система координат).

При применении этого метода последовательно выражают постоянные решения для каждого участка через постоянные решения для предыдущего участка. Уравнение частот получают при удовлетворении краевым условиям на последнем участке. Характерные условия сопряжения решений на отдельных участках для различных типов составных стержней приведены в табл. 2. Описанная выше процедура получения уравнения частот может быть проведена в матричной форме с использованием матриц перехода.

2. Условия сопряжения при продольных колебаниях составных стержней

(см. скан)

Дифференциальное уравнение и краевые условия крутильных колебаний стержней.

Исходным может являться уравнение технической теории (см. гл. VIII) при

Для стержня постоянного сечения уравнение будет следующим:

где имеет смысл скорости распространения крутильных волн в стержне На концах стержня функция , характеризующая угол закручивания, должна удовлетворять условиям, соответствующим характеру закрепления. Некоторые основные виды условий приведены в табл. 5 гл. VIII.

Аналогия между продольными и крутильными колебаниями. Между продольными и крутильными колебаниями стержней постоянного поперечного сечения, движение которых описывается по технической теории, имеется аналогия (табл. 3). Используя эту аналогию, все результаты предыдущего параграфа, относящиеся к продольным колебаниям, нетрудно перенести на крутильные.

3. Аналогичные параметры продольных и крутильных колебаний

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru