Глава XI. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

1. ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ

Дифференциальное уравнение и краевые условия продольных колебаний стержней. В качестве исходного может быть использовано уравнение технической теории (см. гл. VIII) при Если стержень имеет постоянные по длине характеристики то уравнение для исследования собственных колебаний будет следующим:

где имеет смысл скорости распространения продольных волн в стержне (см. гл. XVI).

Функция и на концах стержня должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим характеру закрепления концов стержня. Некоторые основные виды граничных условий приведены в табл. 3 гл. VIII.

Общее решение. Для стержня, совершающего собственные продольные колебания, переменные разделяют введением временного множителя, гармонически изменяющегося со временем:

где соответственно частота и фаза колебаний. При рассмотрении собственных колебаний фаза несущественна и может быть положена равной нулю Подстановка (2) в (1) приводит к уравнению

где

Общее решение (3) можно представить в виде

Определение собственных частот и форм продольных колебаний. Подстановка (5) в краевые условия дает систему линейных однородных уравнений для определения Из условия существования ненулевого решения этой системы (равенство нулю ее определителя) следует уравнение частот. Формы собственных колебаний определяются ненулевым решением при где — одна из собственных частот. Для различных случаев закрепления концов стержня собственные частоты или уравнения для их определения и выражения для форм собственных продольных колебаний стержней представлены в табл. 1.

I. Собственные частоты и формы продольных и крутильных колебаний для некоторых граничных условий

(см. скан)

Пример. Рассмотрим процесс решения задачи определения частот и форм собственных колебании консольного стержня с сосредоточенной массой на свободном конце Из краевого условия при следует, что Из условия при (см табл 3 гл VIII) приходим к уравнению

где В правой части (6) стоит отношение массы стержня и сосредоточенной массы Со

Для различных отношений масс значения первого корня уравнения (6) приведены ниже:

Высшие частоты находят по приближенной формуле

Из рассмотрения данной задачи следуют некоторые частные случаи. При собственные частоты близки к частотам собственных колебаний консольного стержня [уравнение (6) при переходит в уравнение , что совпадает с уравнением для консольного стержня]. При очень большой массе собственные частоты будут близки к частотам для закрепленного на обонх концах стержня [уравнение (6) переходит при в частотное уравнение для закрепленного на обоих концах стержня Еще один частный случай получается, когда отношение массы стержня к сосредоточенной массе мало, так что инерционностью стержня можно пренебречь и учитывать только его упругость (переход к системе с одной степенью свободы). В этом случае

где жесткость стержня на растяжение-сжатие.

Форма собственных колебаний с учетом (5) и того, что описывается функцией

Колебания составных стержней. При получении частотного уравнения системы, состоящей из нескольких стержней и совершающей продольные колебания, может быть использован метод начальных параметров Коши. Решение (5) для каждого из участков составного стержня можно переписать так:

(для каждого участка введена своя система координат).

При применении этого метода последовательно выражают постоянные решения для каждого участка через постоянные решения для предыдущего участка. Уравнение частот получают при удовлетворении краевым условиям на последнем участке. Характерные условия сопряжения решений на отдельных участках для различных типов составных стержней приведены в табл. 2. Описанная выше процедура получения уравнения частот может быть проведена в матричной форме с использованием матриц перехода.

2. Условия сопряжения при продольных колебаниях составных стержней

(см. скан)

Дифференциальное уравнение и краевые условия крутильных колебаний стержней.

Исходным может являться уравнение технической теории (см. гл. VIII) при

Для стержня постоянного сечения уравнение будет следующим:

где имеет смысл скорости распространения крутильных волн в стержне На концах стержня функция , характеризующая угол закручивания, должна удовлетворять условиям, соответствующим характеру закрепления. Некоторые основные виды условий приведены в табл. 5 гл. VIII.

Аналогия между продольными и крутильными колебаниями. Между продольными и крутильными колебаниями стержней постоянного поперечного сечения, движение которых описывается по технической теории, имеется аналогия (табл. 3). Используя эту аналогию, все результаты предыдущего параграфа, относящиеся к продольным колебаниям, нетрудно перенести на крутильные.

3. Аналогичные параметры продольных и крутильных колебаний

(см. скан)