4. КРИТЕРИИ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Для того чтобы доказать асимптотическую устойчивость линейной автономной системы, достаточно убедиться, что все корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части. Ниже сформулированы необходимые и достаточные условия, при которых корни характеристического уравнения (24) лежат в открытой левой полуплоскости.

Критерий Рауса-Гурвица и родственные алгебраические критерии. Рассмотрим алгебраический полином с вещественньши коэффициентами. Пусть левая часть уравнения (24) задана в виде полинома

Коэффициенты этого полинома можно получить одним из методов, описанных в гл. V. Необходимым условием того, чтобы действительные части корней полинома (25) были отрицательными, является положительность всех его коэффициентов: Поэтому можно считать, что

Составим из коэффициентов полинома квадратную матрицу порядка

по следующим правилам: в верхний левый угол ставим коэффициент далее матрицу заполняем гак, чтобы индексы коэффициентов в строках увеличивались на двойку а в столбцах — уменьшались на единицу. При этом вместо коэффициентов с индексами или ставим нули.

Для того чтобы все корни полинома (25) имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные диагональные миноры его матрицы (критерий Рауса-Гурвица):

В табл. 1 приведены условия устойчивости для полиномов до четвертой степени включительно. В случае полиномов более высокой степени проверка условий (27) требует вычисления определителей и проводится на ЭВМ по стандартной подпрограмме.

1. Условия устойчивости для полиномов

(см. скан)

Критерий В. И. Зубова. Рассмотрим алгебраический полином с вещественными коэффициентами, заданный в неявном виде. Чаще всего в теории устойчивости систем с конечным числом степеней свободы характеристический полином встречается в виде (24), где вещественная матрица порядка При помощи дробно-линейного преобразования

левая полуплоскость отображается на единичный круг При этом вместо (24) получаем

где Корни полинома (29) являются собственными значениями матрицы и все они по модулю меньше единицы.

Для того чтобы корни полинома (24) лежали в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы

где Условие (30) будет выполнено, если для какого-либо окажется, что для всех где — элемент матрицы

Алгебраический полином с комплексными коэффициентами. Пусть коэффициенты полипома (25) — комплексные числа. Если корни полинома лежат в левой

полуплоскости, то корни полинома находятся в верхней полуплоскости, т. е. имеют положительные мнимые части. Положим Отделяя действительную и мнимую части, получим

где — вещественные числа. Составим из коэффициентов полинома (31) вещественную матрицу порядка

Элементы вне блоков равны нулю.

Число корней полинома с комплексными коэффициентами, имеющих отрицательные действительные части, равно числу перемен знака в ряду главные диагональные миноры четного порядка матрицы

Поменяем местами строки в каждом блоке матрицы В результате получим матрицу

Для того чтобы все корни полинома с комплексными коэффициентами лежали в левой полуплоскости [или все корни полинома находились в верхней полуплоскости], необходимо и достаточно, чтобы главные диагональные миноры матрицы были положительные (критерий

Пример. Исследование устойчивости цилиндрической оболочки в потоке газа [11] приводит к решению проблемы Рауса — Гурвица для полинома Здесь вещественные параметры. По физическому смыслу задачи невозмущенное движение оболочки будет устойчивым, если этот полином не имеет корней в нижней полуплоскости. Составим матрицу полинома

Условия Рауса — Гурвица дают

Критерий Коши-Михайлова-Найквиста. Рассмотрим полином с вещественными коэффициентами, Кривую [где со вещественный параметр

называют годографом Михайлова полинома Каждой точке годографа соответствует вектор выходящий из начала координат. В силу необходимых условий

Для того чтобы все корни полинома (25) лежали в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы угол поворота против хода часовой стрелки вектора при изменении параметра со от до был равен где степень полинома (критерий Коши-Михайлова-Найквиста).

Рис. 4. Примеры устойчивых годографов для полиномов степени

Таким образом, график годографа полинома, имеющего все корни в левой полуплоскости, выходит из точки положительной полуоси при со будет последовательно пересекать полуоси а вектор асимптотически стремиться к по счету полуоси. Примеры годографов для полиномов, имеющих все корни в левой полуплоскости, показаны на рис. 4.

Представим выражение в виде суммы действительной и мнимой частей:

Здесь полином степени при четном или при нечетном полином степени при четном или при нечетном

Рис. 5. Графики полиномов и

Для того чтобы все корни полинома (25) с положительными коэффициентами имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы корни полиномов и были вещественными, положительными и перемежались между собой, причем наименьшим должен быть корень полинома и

Например, для полинома восьмой степени с положительными коэффициентами условия выглядят так: все кории полиномов и должны быть вещественными положительными и располагаться, как иа рис. 5.

Устойчивость линейных систем с постоянными параметрами и запаздыванием. Уравнения возмущенного движения таких систем являются

дифференциально-разностными запаздывающего типа:

Здесь постоянные запаздывания, удовлетворяющие условию (сосредоточенные запаздывания). Отрезок начальный момент времени) называют начальным множеством. В случае распределенного запаздывания система (33) будет интегро-дифференциальной.

Решение называют устойчивым по отношению к возмущениям на начальном множестве , если для любого найдется такое что для любой непрерывной начальной функции удовлетворяющей неравенству решеиие с этой начальной функцией будет удовлетворять неравенству при всех Если, кроме того, выполняется неравенство

то тривиальное решение называют асимптотически устойчивым по отношению к возмущениям на начальном множестве.

Решение системы (33) можно искать в виде

постоянные. После подстановки (34) в выражение (33) получаем характеристическое уравнение системы где символ Кронекера. Раскрывая определитель, получим характеристическое уравнение в виде квазиполинома где алгебраические полиномы. Квазиполином является целой трансцендентной функцией, а множество его корней — бесконечным счетным множеством, не имеющим конечных точек сгущения. Имеются общие методы, решающие проблему Рауса-Гурвица для квазиполиномов, однако они очень громоздки и малопригодны для приложений. Чаще всего на практике прибегают к методу -разбиений.

Выделение областей устойчивости в пространстве параметров системы. Характеристическое уравнение зависит от параметров системы. Каждой точке -мерного пространства параметров соответствует некоторое расположение корней характеристического уравнения в комплексной плоскости. При перемещении точки в пространстве параметров непрерывным образом изменяется расположение корней характеристического уравнения. Различным областям пространства параметров будет соответствовать различное число корней характеристического уравнения в правой полуплоскости. Таким образом, пространство параметров можно разделить на области где число корней характеристического уравнения в правой полуплоскости -разбиение). Поскольку при переходе в правую полуплоскость корень характеристического уравнения пересекает мнимую ось, то уравнение границ разбиения имеет вид Оно эквивалентно паре вещественных уравнений

где — параметр Области соответствуют асимптотической устойчивости системы. Если в выражении (35) - исключить то получим уравнение границ областей -разбиения в пространстве параметров. Остается решить проблему идентификации областей. Если левая часть характеристического уравнения — полином, то граница областей в пространстве параметров определяется либо уравнением либо