2. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Обобщенные координаты. Рассмотрим систему материальных точек с удерживающими голономными идеальными связями (некоторые ограничения на свойства связей могут быть в дальнейшем смягчены). Движение этой системы описывается уравнениями (6), число которых равно Если при помощи уравнений связей удастся исключить из системы (6) все реакции связей и, кроме того, координат материальных точек, то система (6) будет сведена к системе дифференциальных уравнений относительно оставшихся координат. Уменьшение числа неизвестных до может быть достигнуто и другим путем — введением некоторых взаимно однозначных функций координат материальных точек, определяющих в каждый момент времени положение системы в пространстве с учетом наложенных связей. Эти вновь введенные переменные, называемые обобщенными координатами системы, обозначают Число обобщенных координат

равно числу степеней свободы системы.

Обобщенные скорости и ускорения. Пространства аналитической механики. Производные от обобщенных координат по времени называют обобщенными скоростями, а вторые производные обобщенными ускорениями. Обобщенные координаты однозначно определяют положение всех точек системы в каждый момент времени, т. е. конфигурацию системы. Пространство измерений, элементами которого являются совокупности обобщенных координат

называют пространством конфигураций (конфигурационным пространством). Дополняя пространство конфигураций временной осью, получим -мерное пространство переменных которое называют расширенным пространством конфигураций. Пространство измерений, элементами которого являются совокупности обобщенных координат и обобщенных скоростей

называют пространством состояний. Простейшим примером пространства состояний может служить плоскость для системы с одной степенью свободы. Эту плоскость называют фазовой плоскостью.

Вариационный принцип Гамильтона (общий случай). Общее уравнение динамики Даламбера-Эйлера является вариационным принципом механики, выраженным в дифференциальной форме. Важнейшим интегральным вариационным принципом аналитической механики является принцип Гамильтона, который может быть выведен из общего уравнения динамики. Пусть все связи, наложенные на систему, — идеальные. Уравнение (17) принимает вид

Рассмотрим движение системы на некотором отрезке времени При этом Истинном движении в каждый момент времени удовлетворяются как уравнения движения, так и уравнения связей. Наряду с истинным движением рассмотрим совокупность бесконечно близких движений, для которых уравнения связей удовлетворены (в силу выбора обобщенных координат), а уравнения движения не удовлетворяются. Эти движения будем называть смежными. Соответствующие приращения обобщенных координат будем называть вариациями обобщенных координат и обозначать Существенно, что при вычислении этих вариаций время не варьируется, т. е. смежные конфигурации должны удовлетворять уравнениям связей в тот же момент времени (эта оговорка имеет значение только для нестационарных связей). Вариации

удовлетворяющие поставленному условию, называют изохронными. На концах временного отрезка движение варьировать не будем, т. е. в моменты времени все Введенные представления проиллюстрированы на рис. 3, где показаны истинная и смежные траектории в расширенном пространстве конфигураций для случая, когда

Из уравнения (28) следует утверждение: истинное движение системы происходит так, что при любых изохронных вариациях, обращающихся на концах отрезка в нуль, выполняется условие

Рис. 3. К формулировке принципа Гамильтона

Здесь вариация кинетической энергии системы, т. е. приращение кинетической энергии при отклонениях от истинного движения; сумма работ всех внешних и внутренних сил системы на вариациях (штрих в А поставлен для того, чтобы подчеркнуть, что не является, вообще говоря, вариацией некоторой функции Л).

Знак вариации в первом члене подынтегрального выражения (29) может быть вынесен за знак интеграла. В результате получаем соотношение

которое выражает вариационный принцип Гамильтона, сформулированный при отно сительно общих предположениях о характере действующих на систему сил и о характере связей.

Существенно, что кинетическая энергия и виртуальная работа входящие в соотношения типа (30), должны быть выражены через обобщенные координаты и скорости. В частности, выражение для виртуальной работы имеет вид

где коэффициенты вариациях обобщенных координат называют обобщенными силами.

Принцип Гамильтона для консервативных систем. Пусть все действующие на систему внешние и внутренние силы консервативны, так что выполняется условие

Здесь вариация некоторой функции обобщенных координат называемой потенциальной энергией системы. Тогда вместо соотношения (30) получаем

Выражение, стоящее под знаком интеграла, называют функцией Лагранжа или лагранжианом.

Соотношение (33) можно записать в виде

Интеграл от лагранжиана по времени, входящий в соотношение (35), называют интегралом действия. Принцип Гамильтона для консервативных систем может быть сформулирован таким образом: истинное движение системы под действием консервативных сил происходит так, что на любых изохронных вариациях, обращающихся в нуль на концах отрезка вариация от интеграла действия обращается в нуль (или, иначе, интеграл действия принимает для истинного движения стационарное значение).

Рис. 4. Движение материальной точки по жесткой сфере

Рис. 5. Двойной маятник

Уравнения Лагранжа. Дифференциальные уравнения, соответствующие вариационному принципу Гамильтона, называют уравнениями Лагранжа (второго рода). Совокупность уравнений Лагранжа для рассматриваемой механической системы описывает движение этой системы наиболее экономным образом и является основным рабочим аппаратом аналитической механики.

В зависимости от характера ограничений, наложенных на силы и связи, уравнения Лагранжа могут иметь различный вид. Пусть действующие на систему силы неконсервативны. Исходя из принципа Гамильтона в форме (30) и учитывая выражения (31), приходим к уравнениям

Если все силы консервативны, то, применяя принцип Гамильтона в форме (33), получим

В тех случаях, когда некоторые силы, действующие на систему, консервативны, целесообразно учесть влияние этих сил через их потенциальную энергию Остальные силы войдут в уравнения Лагранжа через обобщенные силы Такая трактовка целесообразна, например, если внутренние силы консервативны, а внешние неконсервативны. Тогда в уравнениях Лагранжа вклад внутренних и внешних сил естественным образом разделяется:

Примеры составления уравнений Лагранжа. В первом примере рассмотрим движение материальной точки по жесткой сфере радиуса За обобщенные координаты примем угол широты и угол долготы Тогда кинетическая энеия Виртуальная работа силы приложенной к материальной точке, где проекции силы на направления касательных к меридиану и параллели соответственно. Отсюда Лагранжиан просто равен Подстановка выражений для кинетической энергии и обобщенных сил в уравнение (36) дает

Во втором примере рассмотрим плоские колебания двойного маятника. Пусть масса маятника сосредоточена в двух точках (рис. 5). Сила тяжести направлена вдоль оси Кинетическая энергия системы

Силу тяжести можно ввести в уравнения движения либо через обобщенные силы, либо через потенциальную энергию. Введем силу тяжести через потенциальную энергию

Подставляя выражения (39) и (40) в уравнения Лагранжа в форме (37), получим

Учет диссипативных сил. Диссипативная функция Релея. Процесс рассеяния (диссипации) механической энергии проще всего учитывается введением сил, пропорциональных обобщенным скоростям. В общем случае системы с степенями свободы диссипативные силы

где некоторые числовые коэффициенты. Чтобы эти силы действительно описывали рассеяние механической энергии, необходимо, чтобы их виртуальная работа почти на всех совместимых со связями перемещениях была отрицательная. Удобнее говорить о мощности диссипации

Матрицу

называют матрицей коэффициентов диссипации. Если соответствующая ей квадратичная форма мощности диссипации (43) является положительно определенной, то диссипация называется полной (в том смысле, что любое допустимое перемещение будет сопровождаться рассеянием энергии). При этом все диагональные элементы матрицы В, а также все главные миноры, включая определитель матрицы, положительны. Если же квадратичная форма, соответствующая матрице В, является неотрицательной, то возможны движения, не сопровождаемые рассеянием механической энергии. Знакопеременность квадратичной формы указывает на возможность автоколебаний в системе.

Диссипативные силы могут быть введены в уравнения Лагранжа либо непосредственно (т. е. через обобщенные силы), либо через квадратичную форму

которую называют диссипативной функцией Релея

Уравнения (46) содержат диссипативные силы в левых частях.

Циклические координаты. Обобщенную координату, которая не входит явно в функцию Лагранжа, называют циклической. Пусть в системе с степенями свободы циклических обобщенных координат. Соответствующие им уравнения Лагранжа имеют вид

и легко интегрируются относительно циклических координат.

Циклические координаты обычно соответствуют монотонным движениям, происходящим по инерции, например, равномерному поступательному движению или равномерному вращению, происходящему в силу начальных условий.