2. УСТОЙЧИВОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ

Постановка задачи об устойчивости равновесия распределенных систем. Диссипативные системы образуют частный класс неконсервативных систем. Для этих систем каждое (или почти каждое) движение сопровождается уменьшением полной механической энергии. Ниже рассмотрим такие системы с не зависящими от времени параметрами, в которых возможно возрастание полной механической энергии за счет ее притока извне. Равновесие таких систем при определенных значениях параметров может стать неустойчивым. В связи с этим возникает задача об отыскании условий устойчивости распределенных неконсервативных систем.

Строгое определение устойчивости распределенных систем строится путем соответствующего обобщения определения устойчивости по Ляпунову. При этом существенное значение имеет выбор метрики, при помощи которой оценивается близость двух движений распределенной системы. Так, близость скалярной функции и (где ) к решению и может оцениваться по нормам типа

и т. д. В теории устойчивости упругих систем широко применяют нормы (метрики) энергетического типа: так, за меру близости двух состояний системы принимается близость их полной механической энергии.

Области устойчивости и критические параметры. Пусть операторы в уравнении (1) зависят от числовых параметров Выделим в пространстве этих параметров область значений, при которых решение уравнения (1) устойчиво. Эта область называется областью устойчивости. Остальная часть пространства принадлежит обгасти неустойчивости. Поверхность, отделяющую область устойчивости, называют критической, а соответствующие значения параметров критическими параметрами.

Типы неустойчивости распределенных систем. В зависимости от поведения системы непосредственно после выхода ее параметров из области устойчивости различают два типа неустойчивости. Если все решения имеют вблизи критической поверхности монотонный характер, то говорят о потере устойчивости по типу дивергенции или о монотонной неустойчивости. Если среди решений имеются колебательные, то говорят о потере устойчивости типа флаттера или о колебательной неустойчивости. Поэтому критическую поверхность разбивают на части, одни из которых соответствуют переходу от устойчивого равновесия к дивергенции, другие — переходу от устойчивого равновесия к флаттеру.

Рис. 1. Типы неустойчивости распределенных систем: а — дивергенция; б - флаттер; в — переход от квазиустойчивости к неустойчивости

Рис. 2. Упругие системы, нагруженные неконсервативными позиционными силами: а — задача Николаи; б - задача Реута; в — задача Бека

Связь с поведением характеристических показателей на комплексной плоскости. Представим решение уравнения (1) в виде

где функция координат; X — характеристический показатель. Для определения и X имеем обобщенную задачу о собственных значениях

Все дальнейшие выводы относятся также к более общему классу задач

где оператор является достаточно произвольной функцией показателя К.

Распределенные системы, как правило, имеют бесконечное множество характеристических показателей При изменении параметров показатели перемещаются по комплексной плоскости. В области устойчивости все На той части критической поверхности, которая соответствует переходу к дивергенции, хотя бы один из показателей X обращается в нуль (рис. 1, а). На части критической поверхности, которая соответствует переходу к флаттеру, хотя бы пара комплексно-сопряженных характеристических показателей попадает на мнимую ось и при дальнейшем изменении параметров переходит на правую полуплоскость (рис. 1, б).

Примеры распределенных неконсервативных систем. Большую группу хорошо изученных неконсервативных систем образуют упругие системы, нагруженные неконсервативными позиционными (следящими) силами. На рис. 2, а показан консольный упругий вал, который скручивается следящим моментом т. е. моментом, вектор которого остается направленным по касательной к деформированной оси вала. На рис. 2, б показан консольный стержень с жесткой траверсой, который нагружен силон сохраняющей фиксированную в пространстве линию действия. Эта сила не связана с материальными точками траверсы, а скользит по ней. На рис. 2, в изображен консольный упругий стержень, нагруженный силой, которая

направлена по касательной к деформированной оси стержня. Во всех трех случаях внешние силы не обладают потенциалом. Чтобы реализовать эти силы, нужны электромеханические следящие устройства, струйные устройства и тому подобные системы с внешним источником энергии. По именам авторов, впервые рассмотревших эти задачи, они названы соответственно задачами Николаи (рис. 2, а), Реута (рис. 2, б) и Бека (рис. 2, в).

Вторую группу неконсервативных систем образуют упругие системы, взаимодействующие с потоком газа или жидкости. Таковы задачи об устойчивости крыла (рис. 3, а) и плоских или криволинейных панелей (рис. 3, б) в потоке газа, об устойчивости труб и оболочек, содержащих движущуюся жидкость (рис. 3, в).

Рис. 3. Упругие системы в потоке жидкости или газа: а — крыло; б - упругая панель; в — оболочки, со держащая движущуюся жидкость

Теория колебаний и устойчивости упругих систем, нагруженных неконсервативными силами или взаимодействующих с потоком жидкости или газа, изложена в работе [11]. Обзор некоторых более поздних работ можно найти в [25, 129], Обзор задач устойчивости применительно к аэроупругим системам, а также сводка численных результатов, относящихся к различным частным случаям, имеется в [87].