2. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ УПРУГИХ ТЕЛ

Основные соотношения классической теории упругости Линейная классическая теория базируется на ряде гипотез, основными из которых являются предположения о сведении системы сил, действующих на элементарную площадку, только к нодеиствующей (отсутствие моментов), о малости градиентов перемещений (линей связь между деформациями и перемещениями), об идеальной упругости материала (линейная связь между напряжениями и деформациями)

Каждая точка упругого тела, отнесенного к прямоугольной декартовой системе координат, характеризуется вектором перемещения и с компонентами в направлении осей координат В каждой точке определены компоненты тензоров напряжений и деформаций

В классической теории упругости эти тензоры симметричны Компоненты тензора напряжении представляют собой нормальные и касательные напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках в данной точке тела Знание тензора позволяет подсчитать компоненты вектора напряжения на любой произвольно ориентированной площадке в данной точке —нормаль к площадке)

Компоненты тензора деформаций связаны с перемещениями форму гами Коши

Компоненты характеризуют относительные удлинения в направлении соответствующих осей, относительные сдвиги (изменение углов между осями

Помимо прямоугольных декартовых координат упругое тело может быть отнесено к различным криволинейным системам координат В качестве примера приведем формулы выражения компонент тензора деформаций через перемещения в цилиндрических координатах

в сферических координатах

Связь между напряжениями и деформациями Закон Гука. Для упругого тела в случае малых деформаций между компонентами тензоров напряжений и деформаций

существует линейная зависимость

где тензор упругих постоянных. Этот тензор обладает свойствами симметрии:

В частных случаях число независимых постоянных в законе Гука (12) уменьшается. Для изотропного тела (все направления эквивалентны) число независимых упругих постоянных равно двум. В этом случае упругие постоянные выражают через постоянные Ламе

где символ Кронеккера. Закон Гука принимает следующую если форму:

Здесь относительное изменение объема. Между средним напряжением и объемной деформацией имеется линейная связь

где К — объемный модуль. В технических обозначениях соотношения закона Гука содержат модуль упругости коэффициент Пуассонам и модуль сдвига Выраженные относительно компонент тензора деформации соотношения закона Гука имеют вид

Потенциальная энергия деформации. Потенциальную энергию деформации можно подсчитать по формуле Клапейрона:

причем справедливы следующие зависимости:

Использование связи между напряжениями и деформациями позволяет выразить потенциальную энергию деформации либо только через напряжения, либо только через деформации. Для изотропного тела

Более подробные сведения по теории упругости можно найти в справочных руководствах [87, 101].

Выражения для плотностей лагранжианов. Для упругой консервативной системы существует потенциал внешних сил

Соотношения Коши (9) и закон Гука (12) позволяют записать выражение для потенциальной энергии деформации (18) через перемещения:

Кинетическая энергия

Объемная и поверхностная плотности лагранжиана имеют вид

Уравнения движения и естественные краевые условия. С использованием (25) уравнения (4) переходят в динамические уравнения Ламе

Естественные краевые условия на поверхностях, ограничивающих тело, где заданы нагрузки, имеют вид

где компоненты вектора внешней нормали к поверхности.

Уравнения движения для изотропного упругого тела. Уравнения Ламе (26) принимают форму

Естественные краевые условия запишутся так:

Кроме того, на остальной поверхности задаются перемещения

При решении динамических задач должны быть заданы еще начальные условия

Операторная запись уравнений движения. При использовании различных моделей для двухмерных и одномерных систем в рассмотрение вводят обобщенный вектор перемещений размерность которого может быть как меньше, так и больше 3

Общую запись уравнений движения для всех случаев (включая рассмотренный выше случай упругого тела) можно получить, если использовать операторную запись

где линейные положительно определенные матричные операторы, соответственно инерционный и упругий; вектор внешних нагрузок. Конкретный вид этих операторов для упругого тела нетрудно получить, сопоставляя (32) с (26) или (28). Для других случаев выражения для будут даны ниже.

Замечание. Уравнение (32) нключает фактически и краевые условия через области определения операторов