4. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

Дадим кинематическое описание колебательных процессов для случая, когда процесс характеризуется одной скалярной переменной Пусть эта переменная — перемещение; тогда ее первая производная по времени — скорость и вторая производная — ускорение.

Рис. 2. Реализация периодического процесса с периодом

Периодические колебания. Колебания называются периодическими, если любые значения колеблющейся величины повторяются через равные отрезки времени. Более точно, колебания называются периодическими, если существует такое число что для любого выполняется условие (рис. 2) Наименьшее из этих значений называется периодом колебаний. Обозначим его через Величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний . В технике период колебаний обычно измеряется в секундах; частота следовательно, имеет

размерность В теоретические формулы входит величина

называемая угловой (циклической) частотой. Она также измеряется в Эта частота равна числу периодов колебаний, которые укладываются на отрезке времени продолжительностью Необходимо остерегаться смешения частот и Частоту обычно измеряют в герцах (Гц). Для угловой частоты наряду с размерностью часто используют размерность

Гармонические колебания. Простейшим (и наиболее важным) видом периодических колебаний являются гармонические (синусоидальные) колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется во времени по закону

Здесь постоянные параметры. Параметр А равен наибольшему значению колеблющейся величины и называется амплитудой гармонических колебаний или просто амплитудой. Постоянный параметр называется начальной фазой колебаний, а аргумент называется фазой колебаний в момент времени

Рис. 3. Круговая диаграмма Для простых гармонических колебаний

Рис. 4. Круговая диаграмма для суммы двух гармонических колебаний

Параметр является угловой частотой. Период гармонических колебаний выражается через угловую частоту:

Для наглядного представления гармонических колебаний можно использовать круговую диаграмму (рис. 3). Для этого на плоскости вводится вектор длиной А, который вращается с постоянной угловой скоростью, равной со (отсюда происходит термин угловая скорость). Начальное положение вектора задается углом Проектируя конец вектора на вертикальную ось, получим закон движения в форме (4).

Скорость при гармонических колебаниях

а ускорение

Таким образом скорость и ускорение при гармонических колебаниях также изменяются во времени по синусоидальному закону с той же частотой, что и перемещение Амплитуды скорости и ускорения равны соответственно со

В технической литературе перемещение, скорость и ускорение при колебательном Движении называют соответственно виброперемещением, виброскоростью и виброускорением.

Часто удобнее пользоваться следующей записью гармонических колебаний:

где вновь введенная начальная фаза связана с фазой в формуле (4) соотношением -у. Иногда начальная фаза вводится с противоположным знаком.

Сумма двух гармонических колебаний с одинаковыми частотами будет гармоническим колебанием с той же частотой:

Амплитуда А и фаза у результирующих колебаний могут быть найдены, например, из круговой диаграммы (рис. 4):

Комплексное представление гармонических колебаний. Формула Эйлера

мнимая единица) дает удобную интерпретацию закона гармонических колебаний (4) на комплексной плоскости. Так, используя формулу (11), представим выражение (4) в виде

Это тождество соответствует интерпретации гармонических колебаний при помощи круговой диаграммы (см. рис. 3).

Возможны другие варианты комплексного представления гармонических колебаний. Например, закон колебаний в форме (8) получается из комплексного представления

В формулах (12) и (13) амплитуда А является действительным числом. Наряду с действительной амплитудой используются также комплексные амплитуды, равные в зависимости от способа задания гармонических колебаний или Рассмотрим, например, выражение где комплексное число, действительная и мнимая части которого равны соответственно и Тогда с учетом выражения (11) приходим к формуле (8), причем амплитуда и начальная фаза равны соответственно

Полигармонические колебания. Следующий вид периодических колебаний — это полигармонические колебания. Полигармоническими называют колебания, которые могут быть представлены в виде суммы двух или более гармонических колебаний с частотами (периодами), находящимися между собой в рациональном соотношении. Примером может служить колебательный процесс

который является суммой двух гармонических процессов типа (8). Существенно, чтобы отношение частот было рациональным числом. Пусть выражаются через некоторую частоту так, что где тип — целые числа, причем

несократимая дробь. Тогда сумма (15) будет периодической функцией с периодом

Ряд Фурье для периодического процесса. В общем случае периодические функции с периодом могут быть представлены в виде ряда Фурье:

Этому разложению соответствует представление периодических колебаний в виде суммы гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте Для представления функции в форме (16) она должна удовлетворять условиям Дирихле, т. е. быть ограниченной и иметь конечное число максимумов, минимумов и точек разрыва первого рода на любом конечном интервале.

Рис. 5. Амплитудный спектр колебательного процесса

Коэффициенты называются коэффициентами Фурье. Коэффициент характеризует среднее значение колеблющейся величины; коэффициенты компоненту движения с основной частотой Эта компонента называется первой или основной гармоникой колебательного движения. Компоненты движения с частотой где называются высшими гармониками, а число номером гармоники. Ряд Фурье для колебательного процесса может быть как бесконечным, так и конечным. Так, колебательный процесс (15) содержит лишь две гармоники: та и на.

Совокупность частот гармонических составляющих, расположенных в порядке их возрастания, называется частотным спектром данного периодического процесса. Каждой частоте соответствуют амплитуда и начальная фаза

Совокупность амплитуд, характеризующих гармонические колебания и расположенных в порядке возрастания частот, называется амплитудным спектром периодического процесса. Совокупность начальных фаз, характеризующих гармонические колебания и расположенных в порядке возрастания частот, называется фазовым спектром. Понятие амплитудного спектра проиллюстрировано на рис. 5.

Примеры типичных колебательных процессов, содержащих две гармоники, приведены в табл. 1. Существенно, что вид колебательного процесса зависит не только от соотношения между частотами и амплитудами гармоник, но и от фазовых соотношений.

Спектральный анализ периодических процессов. Определение спектра частот и коэффициентов Фурье по заданным периодическим функциям называется спектральным анализом. Коэффициенты Фурье связаны с функцией следующими соотношениями:

1. Типичные колебательные процессы, содержащие две гармоники (см. скан)

Если функция задана аналитически, то спектральный анализ в принципе может быть произведен по формулам (18). Коэффициенты Фурье для некоторых часто встречающихся в теории колебаний периодических функций даны в табл. 2.

Помимо рядов Фурье в действительной форме в теории колебаний используются комплексные ряды Фурье. Комплексный ряд Фурье для действительной периодической функции юдом имеет вид

Коэффициенты этого ряда (кроме являются комплексными числами:

Здесь звездочка обозначает переход к комплексно-сопряженной величине. Зависимость между коэффициентами рядов (18) и (19) можно записать в следующем виде:

Если информация о колебательном процессе задана в графической или табличной форме, представлена в виде магнитозаписи и т. п., то для спектрального анализа применяются графические, численные или аппаратурные методы.

(см. скан)

Численная реализация преобразования Фурье. Чтобы осуществить спектральный анализ колебательных процессов на ЭВМ, применяют численное преобразование Фурье. Для этого процесс подвергается дискретизации, т. е. процесс на основном периоде задается его значениями в моменты времени Обычно выбирают равноотстоящие интервалы причем число выбирают таким образом, чтобы частота превышала максимальную ожидаемую частоту процесса раза.

Рис. 6. Дискретизация колебательного процесса

Частота называется частотой среза или частотой Котельникова-Найквиста. Для определенности примем, что четное число и что Кроме того, введем обозначения

Дискретный аналог преобразования Фурье (16) имеет вид

причем для выполнения однозначности преобразования в правой части сохранены частоты, не превышающие половины частоты среза Для коэффициентов дискретного преобразования Фурье имеем формулы

Алгоритм вычислений содержит следующие операции: вычисление величин при различных значениях ; вычисление вычисление выражений суммирование этих выражений. Этот алгоритм требует примерно операций сложения и умножения. Объем вычислений можно уменьшить, используя идею быстрого преобразования Фурье [4].

Понятие о быстром преобразовании Фурье. Идея этого преобразования вытекает из рассмотрения комплексного аналога формул (23) и (24):

При вычислении правых частей в этих формулах многократно используются различные комбинации произведений чисел на экспоненциальные функции. Если составное число, т. е. может быгь представлено в виде произведения целых чисел: то многократного повторения операций можно избежать. Количество операций сложения и умножения имеет при этом порядок Обычно берется что приводит к уменьшению объема вычислений примерно в раз. Один из вариантов быстрого преобразования Фурье известен под названием метода Кули и Тьюки [6].

Стандартные программы для численного анализа Фурье периодических функций. Для численного анализа Фурье заданной периодической функции в области ( в математическом обеспечении ЭВМ серии предназначена подпрограмма [60], которая осуществляет вычисление заданною числа коэффициентов ряда Фурье

аппроксимирующего заданную периодическую функцию. Обращение к подпрограмме осуществляется следующим образом:

Здесь имя внешней подпрограммы-функции пользователя, использующейся для вычисления функции в заданных точках, параметр должен быть описан оператором число, определяющее подынтервал таким образом, что точка содержится на интервале т. е. подынтервал равен максимальный порядок аппроксимирующих гармоник; А — вычисленный вектор коэффициентов Фурье при косинусах размерности В — вычисленный вектор коэффициентов Фурье при синусах размерности код ошибки. Внешняя подпрограмма-функция должна быть составлена пользователем.

Для вычисления коэффициентов Фурье периодической функции, заданной таблицей ее значений с постоянным шагом предназначена подпрограмма Обращение к подпрограмме осуществляется следующим образом:

где входной вектор табличных значений функции размерности число, определяющее подынтервал таким образом, что точка содержится на интервале максимальный порядок аппроксимирующих гармоник; вычисленные векторы коэффициентов Фурье размерности — код ошибки. Подпрограмма не требует использования никаких других подпрограмм и подпрограмм-функций.

Фигуры Лиссажу для полигармонических процессов. При геометрическом сложении двух процессов получаются плоские кривые, называемые фигурами Лиссажу. Для получения уравнения кривых, описывающих траекторию движения точки на плоскости , необходимо рассматривать выражения для как уравнение кривой, заданной в параметрической форме. В общем случае вид траекторий, описываемых точкой, зависит от соотношений между частотами, амплитудами и фазами слагаемых процессов.

Пример. На рис. 7 показаны траектории, описываемые точкой при различных Принято, что так как изменение соотношений между амплитудами процессов влияет на пропорции фигур Лиссажу, не изменяя общего характера форм кривых.

Рис. 7. Фигуры Лиссажу:

Траектории движения точки могут быть незамкнутыми кривыми; это наблюдается в случае, когда частоты суммируемых процессов несоизмеримы, т. е. число не является рациональным. По фигурам Лиссажу достаточно просто находят отношения частот и сдвиг фаз суммируемых процессов [751.