Глава V. НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ

Предварительные замечания. Понятие о консервативных и неконсервативных системах было введено в гл. II. В настоящей главе будут рассмотрены линейные автономные системы, колебания которых описываются уравнениями

Здесь матрица-столбец обобщенных координат; квадратные матрицы с постоянными действительными элементами соответственно. Матрица А является матрицей инерционных коэффициентов; в дальнейшем будем ее считать симметричной и положительно определенной. На свойства матриц не накладывается ограничений. Тогда уравнения будут соответствовать некоторой неконсервативной системе.

Классификация сил. Слагаемые, входящие в левую часть уравнения (1), можно истолковать как взятые с противоположным знаком обобщенные силы, действующие на систему. В левой части последовательно стоят даламберовы силы инерции, силы, пропорциональные обобщенным скоростям

и силы, пропорциональные обобщенным координатам (позиционные),

Представим матрицы в виде сумм симметричных и антисимметричных матриц: Вновь введенные матрицы удовлетворяют соотношениям а их элементы

Обобщенные силы, соответствующие матрицам называют соответственно диссипативными и гироскопическими. Если матрица положительно определенная, то мощность диссипации при любых движениях будет величиной положительной. В этом случае диссипативные силы обладают полной диссипацией. Если матрица положительно полуопределенная, то говорят о неполной диссипации, если матрица отрицательно определенная, то любое движение будет сопровождаться отрицательной диссипацией, т. е. амплитуды будут возрастать. Соответствующие силы будем называть силами с отрицательной диссипацией или ускоряющими силами. Этот термин будем применять и для сил (2) со знакопеременной матрицей коэффициентов, т. е. со знакопеременной квадратичной формой мощности диссипации. Мощность гироскопических сил на любых действительных перемещениях равна нулю; в этом смысле гироскопические силы являются консервативными.

Рассмотрим силы, зависящие от положения. Если коэффициенты в соотношениях (3) образуют симметричную матрицу, то эти силы являются консервативными. Они совпадают с квазиупругими силами, введенными в при рассмотрении малых свободных колебаний консервативных систем. Позиционные силы с антисимметричной матрицей коэффициентов неконсервативны. Для этих сил общепринятого термина нет. Их называют псевдогироскопическими, циркуляционными, следящими; мы будем пользоваться термином неконсервативные позиционные силы.

Приведенная классификация основана на формальных свойствах коэффициентов дифференциальных уравнений движения (1). Одни и те же силы могут вносить вклад в различные группы членов уравнений движения. Например, силы, зависящие от положения, могут иметь несимметричную (не обязательно антисимметричную) матрицу коэффициентов, а разложение матрицы коэффициентов на симметричную и антисимметричную составляющие может не допускать физической интерпретации. В этом случае термин неконсервативные позиционные силы можно применять к силам с несимметричной (не обязательно антисимметричной) матрицей коэффициентов.

Классификация линейных систем. Введенная классификация сил позволяет классифицировать линейные системы с постоянными параметрами. Системы, находящиеся под действием одних только консервативных позиционных сил, называют консервативными системами. Системы, находящиеся под действием одних только гироскопических сил или гироскопических и позиционных консервативных сил, называют гироскопическими. Для этих систем выполняется теорема о сохранении полной механической энергии, т. е. эти системы также являются консервативными.

Все остальные системы можно отнести к неконсервативным. Будем считать, что во всех колебательных системах имеются позиционные консервативные (квазиупругие) силы. Системы, находящиеся под действием диссипативных сил, будем называть диссипативными системами. В зависимости от характера сил диссипации будем различать системы с полной диссипацией, с неполной диссипацией и с отрицательной диссипацией. Первые два типа систем называют также пассивными системами. Системы с отрицательной диссипацией и (или) с позиционными неконсервативными силами относят к активным системам. В пассивных системах возможны либо стационарные, либо затухающие колебания. В активных системах возможно самовозбуждение колебаний. Активные линейные системы являются линейными моделями автоколебательных или потенциально автоколебательных систем.