Часть третья. КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Глава XVII. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ

1. МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

Стохастические модели. Математическая формулировка и исследование стохастических моделей основаны на методах теории вероятностей, теории случайных функций и математической статистики. Многие задачи прикладной теории колебаний могут быть удовлетворительно сформулированы и решены лишь с использованием стохастических моделей. К ним относятся прежде всего задачи о колебаниях систем, возбуждаемых случайными нагрузками. Примером служат нагрузки от атмосферной турбулентности, пульсаций в пограничном слое, акустического излучения работающих двигателей, морского волнения, транспортировки по неровной дороге и т. п. Многие технологические процессы также сопровождаются случайным изменением динамических нагрузок (например, нагрузки, действующие на элементы горнодобывающих и горнообрабатывающих машин). Случайные факторы помимо нагрузок могут войти в вибрационные расчеты также через параметры системы. Так, случайный разброс собственных частот или коэффициентов демпфирования может оказать сильное влияние на выводы о виброустойчивости.

Статистическая динамика и родственные вопросы. Предметом статистической динамики является математическое описание и методы анализа стохастических моделей систем самой общей природы. Это могут быть модели механических, электрических, биологических и тому подобных систем. Теорию случайных колебаний можно рассматривать как приложение статистической динамики к системам определенного класса. Для расчета случайных колебаний необходимо иметь статистические данные о нагрузках и о свойствах системы. Поэтому к теории случайных колебаний примыкает теория статистической обработки опытных данных, а также теория идентификации динамических систем. Интерпретация вероятностных выводов о колебаниях требует применения методов теории надежности.

Случайные функции. Предполагается, что читатель знаком с элементами теории вероятностей, включая распределения многомерных (векторных) случайных величин. Необходимые сведения можно найти в [88]. Ниже на инженерном уровне излагаются элементы теории случайных функций. Рассматриваются только непрерывно распределенные функции непрерывных аргументов.

Случайные функции времени называют случайными процессами. Область изменения аргумента как правило, совпадает с действительной прямой При рассмотрении задач с начальными данными будем в качестве этой области брать полупрямую Случайные функции координат евклидова пространства называют случайными полями. Случайные функции времени и координат х называют либо пространственно-временными случайными процессами, либо пространственно-временными случайными полями. Далее будем называть эти функции случайными полями. Совокупность случайных функций называют n-мерным случайным процессом или векторным случайным процессом в пространстве Если в контексте встречаются векторные или тензорные величины, то во избежание недоразумений рекомендуется применять первый термин. Реализации (выборочные значения) случайных функций будем

обозначать, в отличие от самих случайных функций, соответствующими строчными буквами. Например, реализации случайного процесса будут обозначаться Случайный процесс может быть истолкован либо как совокупность всех его реализаций, образующих некоторое пространство выборочных функций, либо как случайная величина зависящая от параметра

Плотности вероятности и функции распределения одномерного случайного процесса. Плотность вероятности зависящая от как от параметра, характеризует непрерывное распределение значений функции при любом так что

Рис. 1. Реализации случайного процесса

Здесь и в дальнейшем вероятность наступления события А. Функцию распределения вводят через плотность вероятности

Для исчерпывающего описания случайного процесса необходимо задать совместные -мерные распределения для любого и любой комбинации значений Соответствующие плотности вероятности вводят при помощи соотношений

Они должны удовлетворять условиям нормировки

согласованности

и симметрии относительно любых попарных перестановок аргументов Одномерную плотность вероятности называют также одновременной или одноточечной, многомерные плотности многовременными или многоточечными.

Моментные функции случайного процесса. Составляя произведения значений функции при различных и производя осреднение по множеству реализаций, получим последовательность моментных функций

Угловые скобки обозначают операцию вероятностного осреднения (математического ожидания). Число сомножителей в (6) называют порядком моментной функции. Моментная функция первого порядка есть математическое ожидание случайной функции. Для задания случайного процесса необходимо знать полную систему моментных функций, включающую функции сколь угодно высокого порядка при любых комбинациях значений Моментные функции связаны с

плотностями вероятности следующими соотношениями:

Корреляционная функция случайного процесса. Вспомогательный процесс называют центрированным, а его моментные функции — центральными (в отличие от моментных функций (6), называемых начальными). Центральную функцию второго порядка

называют корреляционной функцией процесса В переводной литературе используют также термин ковариационная функция, а термин корреляционная функция сохраняется за аналогом коэффициента корреляции

Корреляционная функция связана с двухмерной плотностью вероятности соотношением

Здесь и в дальнейшем Корреляционная функция обладает свойствами

Дисперсия случайного процесса

Рассмотрим несовпадающих моментов времени Квадратную матрицу

называют корреляционной (ковариационной) матрицей. Она является симметричной и неотрицательной; если значения функции при различных линейно независимы, то корреляционная матрица — положительно определенная.

Спектральные представления случайных процессов. Пусть случайная функция допускает разложение в конечный или бесконечный ряд

где некоторая система детерминистических (неслучайных) функций; случайные величины. Система базисных функций предполагается полной. Случайный процесс задается совместной плотностью вероятности для

случайных коэффициентов Фурье или полной системой моментов для этих коэффициентов. Разложение

где базисные функции выбраны таким образом, что все

называют стохастически ортогональным или каноническим.

Рассмотрим спектральное разложение в виде обобщенного интеграла Фурье

Здесь детерминистическая функция времени и действительного параметра случайная функция параметра Без ограничения общности принято, что со Функцию называют спектром процесса Если выполняется условие

где - детерминистическая функция параметра -функция, то разложение называют каноническим (звездочка обозначает комплексно-сопряженную величину). Функцию называют спектральной плотностью процесса Корреляционная функция процесса связана со спектральной плотностью соотношением

Обычно обобщенная функция так что интеграл (15) в обычном смысле не существует и соотношение (16) не имеет точного смысла. Более строгая трактовка спектрального разложения (15) имеет вид

Здесь случайная функция, значения которой равны сумме комплексных амплитуд процесса с частотами, меньшими чем Условие стохастической ортогональности (16) записывается в виде

где