2. МЕТОДЫ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Метод канонических разложений. Одним из эффективных методов решения стохастических краевых задач является метод канонических разложений. Рассмотрим случай, когда
в (2) является линейным скалярным оператором. Скалярное поле
можно представить в виде разложения
которое является обобщением разложений (12) (см. гл. XVII) для пространственно-временных случайных полей. Решение уравнения (1) можно искать в виде разложения, аналогичного (19),
где
неслучайные функции, которые могут быть найдены из решения вспомогательной детерминистической задачи
методами, изложенными в гл. XIV. Моментныефункции поля и
определяют при этом следующим образом:
и т. д. Если исходное разложение (19) выбрано каноническим (см. гл. XVII), то, например, для моментной функции второго порядка имеем
Метод временных преобразований Фурье. В случаях, когда внешняя нагрузка и вибрационное поле являются стационарными случайными процессами, эффективен метод временных преобразований Фурье.
Пример. Если ввести по формулам типа (43) (см. гл. XVII) спектральные плотности для полей
и
то они будут связаны между собой уравнением, которое получается после применения к уравнению (9) преобразования Фурье по времени:
Рис. 1. Зависимость спектральной плотности прогиба цилиндрической оболочки от осевой координаты при заданном на торце перемещении
и угле поворота
Граничные условия для функции
остаются такими же, как и для
Решение уравнения (25) можно представить в виде
Здесь
Корреляционная функция
Если нагрузка
задана соотношениями (4), то выражение для
имеет вид (11).
Передача случайных вибраций через конструкции. Пусть на элемент конструкции действуют стохастически заданные стационарные возмущения. Рассмотрим вопрос об определении вероятностных характеристик реакции системы в различных точках конструкции. Исследование передачи случайных вибраций сводится к решению стохастических краевых задач.
На рис. 1, а показаны характерные графики безразмерной спектральной плотности нормального прогиба
для полубесконечной цилиндрической оболочки со стохастически заданным на торце нормальным прогибом
а на рис. 1,б — графики
для стохастически заданного угла поворота
построенные при значениях параметров
[92].
Метод пространственных преобразований Фурье. Рассмотрим применение этого метода с использованием канонических разложений. Предположим, что нагрузка
образует центрированное однородное случайное поле, т. е. допускает разложение
со спектром
обладающим свойством стохастической ортогональности
Здесь
пространственно-временная спектральная плотность внешней нагрузки.
Пример. Решение уравнения (3), если справедливо представление (29), можно искать в виде
Функции
при этом будем определять из решения детерминистической задачи
Если случайные колебания стержня начинаются из состояния покоя, то функция
должна удовлетворять условиям
если же рассматривать установившиеся колебания под действием стационарной нагрузки, то условиям
После решения вспомогательной детерминистической задачи (32) — (34) корреляционную функцию прогиба
определяют по формуле
Метод пространственных преобразований Фурье наиболее эффективен в случае бесконечных и полубесконечных областей.
Случай однородных и стационарных пространственно-временных полей. В случае, когда нагрузка
и вибрационное поле
являются центрированными однородными и стационарными случайными функциями, их можно представить в виде интегральных канонических разложений
со стохастически ортогональными спектрами
Взаимные спектральные плотности
связаны соотношением
Здесь
передаточные функции системы.
Корреляционная функция поля
Случайные колебания бесконечной пластины с сосредоточенной массой. При действии на пластину, выполненную из линейного вязкоупругого материала и несущую в точке
сосредоточенную массу
случайных внешних сил можио записать уравнение колебаний
где
— линейный вязкоупругий оператор.
Для бесконечной пластины решение при однородной пространственной функции нагрузки ищется в форме пространственно-временного канонического разложения (36). Спектральная плотность прогиба
где
Здесь
образ Фурье оператора
тангенс потерь