2. МЕТОД СТОХАСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА

Общая характеристика метода. Классический метод функций Ляпунова используют для получения строгих достаточных (иногда необходимых и достаточных) условий устойчивости и неустойчивости. В основе метода лежит идея построения таких функций, по знаку производных которых вдоль фазовых траекторий можно судить об устойчивости невозмущенного движения. Если система является стохастической, то необходимо исследовать поведение всего множества реализаций, смежных с невозмущенным движением [56, 142].

Метод стохастических функций Ляпунова разработан применительно к системам, эволюция которых представляет собой диффузионный марковский процесс, рассмотренный в гл. XVII. Существенную роль в этом методе играет производящий

дифференциальный оператор марковского процесса, заданный на множестве функций от процесса и времени

где коэффициенты сноса; коэффициенты диффузии [см. (37) в гл. XVII]. Оператор совпадает с оператором обратного уравнения Колмогорова [см. (38) в гл. XVII], если оно представлено в виде В литературе по теории случайных процессов производящим оператором называют также оператор Выражение имеет смысл производной по времени от математического ожидания функции при условии, что в момент времени процесс имеет значение Таким образом, величина характеризует скорость изменения функции на множестве всех траекторий системы, проходящих в момент времени через точку фазового пространства

Задача состоит в построении таких функций чтобы по знаку в некоторой области фазового пространства можно было судить о стохастической устойчивости. Для этого используют функции, аналогичные классическим функциям Ляпунова.

Функцию заданную в некоторой окрестности полупрямой называют положительно определенной (по Ляпунову), если в этой окрестности выполняются условия при при Функцией, имеющей бесконечно малый верхний предел (равномерно малой по называют функцию если для любого существует такое что при любом имеет место

Ниже сформулированы три теоремы об устойчивости решения стохастической системы дифференциальных уравнений, описывающих непрерывный марковский процесс с производящим оператором [56, 112].

Теоремы об устойчивости по вероятности. Пусть в окрестности существует непрерывная положительно определенная функция принадлежащая области определения оператора и удовлетворяющая при условию Тогда решение устойчиво по вероятности.

Пусть в окрестности существует непрерывная имеющая бесконечно малый предел положительно определенная функция, принадлежащая области определения оператора и удовлетворяющая при условию Тогда решение асимптотически устойчиво по вероятности.

Теорема об асимптотической устойчивости линейных систем. Пусть для какой-нибудь положительно определенной квадратичной формы с коэффициентами — непрерывными ограниченными функциями времени — нашлась квадратичная положительно определенная форма удовлетворяющая условию

Тогда решение будет асимптотически устойчивым в среднем квадратическом.

Пример. Рассмотрим простейшую линейную колебательную систему, коэффициент демпфи рования которой «зашумлеи» белым шумом интенсивностью

Система, возбуждаемая белыми шумами, может быть представлена также в виде

где независимые нормальные белые шумы единичной интенсивности; Коэффициенты сиоса х в зависимости от определения стохастического интеграла можно записать по разиому. При использовании стохастического интеграла Ито [28]

Если использовать симметризованный стохастический интеграл Стратоновича [103], то

В первом случае процессы называются шумами во втором — шумами Стратоновича. Коэффициенты диффузии в обоих случаях

Трактуя белый шум по Стратоновичу, найдем коэффициенты диффузии и сноса

Отсюда производящий оператор (14)

Применим теорему об асимптотической устойчивости. Квадратичные формы ищем в виде

где неопределенные коэффициенты, которые находят из условия (15), т. е.

Форма будет положительно определена тогда и только тогда, если

Это дает достаточное условие для асимптотической устойчивости системы (16) в среднем квадратическом [112].