3. УПРУГИЕ ВОЛНЫ В СТЕРЖНЯХ
Продольные волны (техническая теория). Исходным при исследовании продольных волн в стержнях постоянного сечения, когда процесс деформирования описывается в рамках гипотез сопротивления материалов, является уравнение продольных колебаний стержня (68) гл. VIII, которое можно представить в виде
Последнее равенство определяет скорость распространения продольных волн в стержнях. Эта скорость оказывается меньше скорости волн расширения-сжатия 
и больше скорости волн искажения 
Продольные волны, описываемые элементарной теорией, распространяются без дисперсии 
Крутильные волны (техническая теория). Уравнение крутильных колебаний (72) гл. VIII, описывающее крутильные волны в стержнях постоянного сечения, когда используются гипотезы сопротивления материалов, можно переписать в виде
Для стержня кругового или кольцевого поперечного сечения 
Параметр 
определяет скорость распространения крутильных волн по технической теории. Так как 
то 
Крутильные волны, описываемые технической теорией, распространяются без дисперсии 
Изгибные волны (техническая теория). Решение исходного уравнения, которым является уравнение изгибных колебаний стержня постоянного сечения (83) гл. 
можно представить в виде монохроматической волны
Дисперсионное уравнение имеет решение
Фазовую и групповую скорости определяют по формулам
Таким образом, при распространении изгибных волн, описываемых технической теорией, имеет место аномальная дисперсия. Поскольку скорость волн расширения-сжатия с, является верхней гранью для скоростей распространения возмущений в упругих телах, то 
При достаточно больших волновых числах 
или при достаточно малых длинах волн 
это условие нарушается и техническая теория оказывается непригодной. Необходимо применять уточненную теорию.
Изгибные волны (уточненная теория). За исходное в данном случае принимают уравнение Тимошенко (93) гл. VIII. Нахождение решения в виде (24) приводит к частотному уравнению
где использованы (6), (22) и, кроме того, обозначение для радиуса инерции сечения 
Рис. 3. Зависимость фазовых скоростей изгиб 
волн в стержне от волнового числа по различным теориям
Для каждого фиксированного волнового числа существует два значения фазовой скорости
которые соответствуют преимущественно изгибным и преимущественно сдвиговым формам распространяющихся волн. При 
так что 
совпадает со скоростью изгибных волн, вычисленной по элементарной теории (26). Скорость 
при 
бесконечно возрастает (групповая скорость стремится к нулю). При 
характер явления меняется. Из оценок 
следует, что 
близка к скорости сдвиговых волн. При 
колебания при распространении волн носят связанный характер. На рис. 3 штриховой линией изображена зависимость, полученная по элементарной теории, штрихпунктиром — по уточненной теории Тимошенко. Сплошными линиями показаны зависимости, являющиеся результатом точного решения динамических уравнений Ламе для стержня кругового
поперечного сечения. Цифрами I, II, III отмечены кривые, соответствующие первым трем формам колебаний. Сравнение приведенных кривых показывает, что уточненная теория Тимошенко дает удовлетворительное совпадение с низшей серией. Для второй серии имеет место лишь качественное совпадение. При малых длинах волн (больших k) расхождение существенно. При 
точное значение дает в пределе скорость релеевских волн с, в то время как по теории Тимошенко предельным значением является скорость продольных волн 
