4. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Кинематическое описание конечных перемещений твердого тела. Любое конечное перемещение твердого тела эквивалентно поступательному перемещению вместе с некоторым полюсом с последующим вращением относительно этого полюса (теорема Шаля). Любое конечное вращение твердого тела относительно неподвижной точки эквивалентно вращению относительно некоторой оси, проходящей через эту точку (теорема Даламбера-Эйлера).

Рис. 10. Введение эйлеровых углов

В динамике твердого тела движение тела представляется в виде совокупности поступательного движения с центром масс и вращений относительно центра масс. Для кинематического описания конечных вращений обычно используют углы Эйлера.

Способ введения углов Эйлера показан на рис. 10. Рассмотрим три последовательных вращения системы координат, «вмороженной» в тело. Начальному положению тела соответствует система координат Эта система переводится в положение вращением относительно оси на угол (угол прецессии). Затем система поворачивается на угол 6 (угол нутации) относительно оси (оси узлов). В результате система координат переводится в положение Третье и последнее вращение на угол (угол собственного вращения) производится относительно оси Этим последним вращением определяется конечное сложение системы координат

Операции конечного вращения некоммутативны, а тройка углов не образует вектора. Аналитическое описание вращений производят при помощи ортогональных матриц. Вектор декартовых координат в система связан с соответствующим вектором в системг соотношением где

Матрицы, входящие в правую часть выражения (70), описывают три последовательных вращения на углы Эти матрицы имеют специальную структуру. Например,

Распределение скоростей и ускорений в твердом теле. В отличие от конечных вращений бесконечно малые вращения и, следовательно, угловые скорости абсолютно твердого тела обладают векторными свойствами. По формуле Эйлера скорость любой точки тела

где скорость центра масс; радиус-вектор рассматриваемой точки, отсчитываемый от центра масс; псевдовектор мгновенной угловой скорости тела. Ускорение в любой точке тела

где ускорение центра масс; мгновенное угловое ускорение. Первый член в правой части представляет собой ускорение поступательного движения, второй — тангенциальное ускорение, третий — осестремительное ускорение.

Кинематические уравнения Эйлера. Обозначим проекции вектора на подвижные оси координат через Связь между этими составляющими и углами Эйлера дается уравнениями

Уравнения динамики твердого тела. Примем за обобщенные координаты тела три координаты его центра масс и три угла Эйлера Движение центра масс описывается уравнением (9) теоремы об изменении количества движения. Для твердого тела это уравнение приводится к виду

где масса тела; радиус-вектор центра масс относительно некоторой неподвижной точки; главный вектор активных и реактивных сил, приложенных к телу. В проекциях на неподвижные координатные оси это уравнение принимает вид

Еще три уравнения дает векторное уравнение (22) теоремы об изменении момента количества движения относительно центра масс. Совершая предельный переход в формуле (24), находим

Отсюда с учетом формул (53) и где произведение тензора инерции (54) на вектор угловой скорости понимается как результат матричного умножения. В технических обозначениях (55) и (56) это соотношение имеет вид

Динамические уравнения Эйлера. Уравнение (22) в системе координат «вмороженной в тело», имеет вид]

Здесь

Подстановка в (77) выражений (76) дает динамические уравнения Эйлера. Обычно уравнения Эйлера выписывают для случая, когда главные оси инерции:

Теорема об изменении кинетической энергии твердого тела. Аналитически теорему об изменении кинетической энергии (12) применительно к твердому телу можно записать так:

где виртуальное перемещение центра масс; виртуальный угол поворота. Кинетическая энергия или в развернутом виде

Частные случаи движения абсолютно твердого тела. Плоскопараллельное движение твердого тела (рис. 11) описывается системой уравнений

где угол поворота тела; момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения; момент всех активных и реактивных сил относительно этой оси.

Рис. 11. Частные случаи движения твердого тела: — плоскопараллельное; — соответственно вращение относительно неподвижной оси и неподвижной точки

Движение относительно неподвижной оси описывается уравнением

где угол поворота тела; соответственно момент инерции и момент всех активных и реактивных сил относительно оси вращения

Движение относительно неподвижной точки описывается уравнениями Эйлера (73) и (78) с выбором начала координат в неподвижной точке.

Оставшиеся уравнения динамики твердого тела могут быть использованы для нахождения реакций связей.