Главная > Вибрации в технике, Т. 1. Колебания линейных систем
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Кинематическое описание конечных перемещений твердого тела. Любое конечное перемещение твердого тела эквивалентно поступательному перемещению вместе с некоторым полюсом с последующим вращением относительно этого полюса (теорема Шаля). Любое конечное вращение твердого тела относительно неподвижной точки эквивалентно вращению относительно некоторой оси, проходящей через эту точку (теорема Даламбера-Эйлера).

Рис. 10. Введение эйлеровых углов

В динамике твердого тела движение тела представляется в виде совокупности поступательного движения с центром масс и вращений относительно центра масс. Для кинематического описания конечных вращений обычно используют углы Эйлера.

Способ введения углов Эйлера показан на рис. 10. Рассмотрим три последовательных вращения системы координат, «вмороженной» в тело. Начальному положению тела соответствует система координат Эта система переводится в положение вращением относительно оси на угол (угол прецессии). Затем система поворачивается на угол 6 (угол нутации) относительно оси (оси узлов). В результате система координат переводится в положение Третье и последнее вращение на угол (угол собственного вращения) производится относительно оси Этим последним вращением определяется конечное сложение системы координат

Операции конечного вращения некоммутативны, а тройка углов не образует вектора. Аналитическое описание вращений производят при помощи ортогональных матриц. Вектор декартовых координат в система связан с соответствующим вектором в системг соотношением где

Матрицы, входящие в правую часть выражения (70), описывают три последовательных вращения на углы Эти матрицы имеют специальную структуру. Например,

Распределение скоростей и ускорений в твердом теле. В отличие от конечных вращений бесконечно малые вращения и, следовательно, угловые скорости абсолютно твердого тела обладают векторными свойствами. По формуле Эйлера скорость любой точки тела

где скорость центра масс; радиус-вектор рассматриваемой точки, отсчитываемый от центра масс; псевдовектор мгновенной угловой скорости тела. Ускорение в любой точке тела

где ускорение центра масс; мгновенное угловое ускорение. Первый член в правой части представляет собой ускорение поступательного движения, второй — тангенциальное ускорение, третий — осестремительное ускорение.

Кинематические уравнения Эйлера. Обозначим проекции вектора на подвижные оси координат через Связь между этими составляющими и углами Эйлера дается уравнениями

Уравнения динамики твердого тела. Примем за обобщенные координаты тела три координаты его центра масс и три угла Эйлера Движение центра масс описывается уравнением (9) теоремы об изменении количества движения. Для твердого тела это уравнение приводится к виду

где масса тела; радиус-вектор центра масс относительно некоторой неподвижной точки; главный вектор активных и реактивных сил, приложенных к телу. В проекциях на неподвижные координатные оси это уравнение принимает вид

Еще три уравнения дает векторное уравнение (22) теоремы об изменении момента количества движения относительно центра масс. Совершая предельный переход в формуле (24), находим

Отсюда с учетом формул (53) и где произведение тензора инерции (54) на вектор угловой скорости понимается как результат матричного умножения. В технических обозначениях (55) и (56) это соотношение имеет вид

Динамические уравнения Эйлера. Уравнение (22) в системе координат «вмороженной в тело», имеет вид]

Здесь

Подстановка в (77) выражений (76) дает динамические уравнения Эйлера. Обычно уравнения Эйлера выписывают для случая, когда главные оси инерции:

Теорема об изменении кинетической энергии твердого тела. Аналитически теорему об изменении кинетической энергии (12) применительно к твердому телу можно записать так:

где виртуальное перемещение центра масс; виртуальный угол поворота. Кинетическая энергия или в развернутом виде

Частные случаи движения абсолютно твердого тела. Плоскопараллельное движение твердого тела (рис. 11) описывается системой уравнений

где угол поворота тела; момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения; момент всех активных и реактивных сил относительно этой оси.

Рис. 11. Частные случаи движения твердого тела: — плоскопараллельное; — соответственно вращение относительно неподвижной оси и неподвижной точки

Движение относительно неподвижной оси описывается уравнением

где угол поворота тела; соответственно момент инерции и момент всех активных и реактивных сил относительно оси вращения

Движение относительно неподвижной точки описывается уравнениями Эйлера (73) и (78) с выбором начала координат в неподвижной точке.

Оставшиеся уравнения динамики твердого тела могут быть использованы для нахождения реакций связей.

1
Оглавление
email@scask.ru