5. ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР В УПРУГИХ СТЕРЖНЯХ

Применение элементарной теории. Приведенная масса. В элементарной теории соударения твердых деформируемых тел используют ряд упрощающих гипотез, основными из которых являются предположения о возможности пренебрежения локальными инерционными силами и о возможности аппроксимации динамических смещений статическими. Так, в задаче об ударе твердого тела массы по свободному концу стержня, заделанного на другом конце принимается равномерное распределение напряжений. Напряжение а определяют из теоремы об изменении кинетической энергии

где скорость ударяющего тела; соответственно площадь сечения, длина, модуль упругости материала стержня.

В случае соударения свободных стержней, движущихся в одном направлении со скоростями принимают линейное по длине каждого стержня распределение напряжений. Применение теоремы Карно и теоремы об изменении кинетической энергии позволяет записать

После присоединения к (37) условия выражающего закон равенства действия противодействию, можно найти выражения для напряжений

Частично инерционные свойства стержней учитывают приведенной массой, которая вводится так, чтобы кинетическая энергия или количество движения материальной точки, условно заменяющей стержень, равнялись соответствующим величинам для стержня после аппроксимации динамических смещений статическими:

где коэффициенты приведенной массы соответственно по кинетической энергии и по количеству движения; и статическое смещение; координата приведенной массы.

В качестве примера приведем формулу для динамического удлинения при ударе массы по стержню массы с вертикальной осью и заделанным вторым концом.

Это смещение (положительное при сжатии)

где

Используя формулу (40), можно оценить максимальное динамическое напряжение

Здесь

Волновая теория соударения стержней. Пусть стержень, имеющий закрепленный конец испытывает удар, наносимый твердым телом массы по свободному концу. Исходным является уравнение (22). Опо должно быть решено при следующих начальных и краевых условиях:

Решение (22) выбирается в форме (10), данной Даламбером:

При удовлетворении условию (42) при получим

Определяют функцию последовательно для участков использовании условий (42) и условий непрерывности. Результаты определения сведены в табл. 1.

1. Функция для задачи о продольном ударе твердого тела по свободному концу консольного стержня

(см. скан)

Используя данные табл. 1, определяют напряжения

Интерпретацию полученного решения можно дать на основе (44). Если Смещения представляют волну, перемещающуюся в отрицательном направлении оси со скоростью В момент волна доходит до заделанного конца, и на следующем интервале времени решение представляет собой суперпозицию двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Форма этих волн определяется для подстановкой вместо соответственно в (44). Таким же образом можно найти решение для последующих интервалов времени. Полученные соотношения имеют смысл лишь при условии контакта между ударяющим телом и стержнем.

Окончание удара определяется моментом времени в который производная обращается в нуль. Продолжительность удара зависит от отношения массы ударяющего тела к массе стержня Продолжительность удара увеличивается с увеличением у (табл. 2).

2. Продолжительность продольного удара твердого тела по свободному концу консольного стержня

(см. скан)

3. Максимальные напряжения при продольном ударе твердого тела по свободному концу консольного стержня

(см. скан)

Анализ решения показывает, что максимальные напряжения возникают при Зависимость максимальных напряжений от отношения масс у представлена в табл. 3.

В случае продольного удара твердого тела по свободному стержню последнее условие (42) необходимо заменить следующим:

Решение, удовлетворяющее этому условию, имеет вид где функция определяется выражениями, сведенными в табл. 4.

Удар заканчивается при т. е. когда волна сжатия пройдет длину стержня в одном направлении и, отразившись от ненагруженного конца в виде волны расширения, возвратится к концу стержня, подвергнутому удару.

4. Функция для задачи о продольном ударе твердого тела по свободному стержню

(см. скан)

Замечание. В приведенных выше задачах о соударениях стержней не учитывались местные деформации. При их учете результаты будут существенно зависеть от геометрии ударяющего тела и стержня. Например, получено решение для удара сферического тела по стержню со сферическими концами, а также для других случаев (34, 48].