7. МЕТОДЫ РИТЦА, БУБНОВА — ГАЛЕРКИНА, КОЛЛОКАЦИЙ И РОДСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ

Метод Ритца. Этот метод основан на замене задачи нахождения минимума функционала нахождением минимума функции нескольких переменных. Исходным является вариационный принцип (21) гл. IX. Согласно методу Ритца решение представляется в виде ряда

Последовательность (система) координатных элементов должна подчиняться трем требованиям: координатные функции должны удовлетворять по крайней мере кинематическим граничным условиям: при любом линейно независимы; система полна по энергии. На практике при ограниченном числе членов ряда (38) обычно требуется, чтобы система была представительной, т. е. чтобы любую допустимую функцию можно было аппроксимировать данной системой функций с заданной степенью точности.

Подстановка (38) в (20) гл. IX дает

где

Очевидно, что Условия экстремума (21) гл. IX приводят к уравнениям для обобщенных координат

Условие существования ненулевого решения системы (41) дает уравнение частот

Формы собственных колебаний находят в результате определения ненулевого решения (41) при и использования разложения (38). Формы собственных колебаний при простых частотах определяют с точностью до постоянного множителя. При кратных частотах всегда удается выбрать столько линейно независимых форм, какова кратность частоты. Метод Ритца легко поддается алгоритмизации и поэтому удобен для решения на ЭВМ.

Метод Стодолы. Идея сведения вариационной задачи к задаче отыскания минимума функции нескольких переменных, являющаяся основной в методе Ритца, используется и в методе Стодолы. Отличие заключается лишь в том, что вместо процесса минимизации по обобщенным координатам (коэффициентам при координатных функциях) в методе Стодолы рассматривают минимизацию по некоторым параметрам, входящим в выражения для форм собственных колебаний (в аппроксимирующие функции).

Метод Бубнова-Галеркина. Уравнения колебаний упругой распределенной системы (3) гл. IX решают с использованием (38). Однако (в отличие от метода Ритца) координатные функции должны удовлетворять всем краевым условиям (1), т. е. Согласно методу Бубнова-Галеркина результат подстановки ряда (38) в (3) гл. IX должен быть ортогонален ко всем координатным функциям

После введения обозначений

(очевидно, что из условия существования ненулевого решения системы (43) получается уравнение частот

Собственные формы колебаний определяются после нахождения ненулевого решения системы (43) рядом (38).

Связь между методами Бубнова-Галеркина и Ритца. Если координатные функции принадлежат области определения симметричных и положительно определенных операторов то скалярные и энергетические произведения совпадают (см. гл. IX):

и, следовательно, . В этом случае уравнения частот (45) и (42), получаемые по методу Бубнова-Галеркина и методу Ритца, совпадают.

Замечание 1. Процедура вычислений по методу Бубнова — Галеркина часто оказывается несколько проще.

Замечание 2. Метод Рнтца допускает большую свободу выбора координатных функций (удовлетворяются по крайней мере кинематические граничные условия).

Замечание 3. Для приближенного определения частот можно применять процедуру метода Бубнова — Галеркина с выбором координатных функций, удовлетворяющих «смягченным» условиям (как в методе Ритца).

Замечание 4. Метод Бубнова — Галеркина можно трактовать как дискретизацию иахожде экстремума в вариационном принципе (22) гл IX.

Замечание 5. Для сходимости метода Бубнова — Галеркина достаточно потребовать полной непрерывности оператора С, положительной определенности оператора А и полноты системы базисных функций принадлежащих области определения операторов [68]

Применение метода Бубнова-Галеркииа к интегральным уравнениям. Метод Граммеля. Рассмотрим интегральное уравнение в форме (14) гл. IX. Представление

решения в виде (38) и выполнение формальной процедуры метода Бубнова-Галеркина приводит к уравнению вида (45), где

Описанная процедура нахождения частот называется методом Граммеля.

Обобщение метода Бубнова-Галеркина. Обобщение состоит в ортогонализации результата подстановки ряда (38) в уравнение (3) гл. IX по отношению к новой системе функций], от которой требуется по крайней мере представительности. Результат разложения по введенному базису можно представить в форме

Введение обозначений

приводит к уравнению частот вида (45).

Метод Власова-Канторовича. Данный метод состоит в частичном применении метода Бубнова-Галеркина (по одной или двум координатам), в результате чего задача сводится к решению ряда одномерных краевых задач на собственные значения.

Метод внутренней коллокации. Решение уравнения собственных колебаний (3) гл. IX при краевых условиях (1) аппроксимируется функцией

или рядом (38), где координатные функции удовлетворяют всем краевым условиям Коэффициенты выбирают так, чтобы удовлетворить уравнению (3) гл. IX в точках коллокаций внутри области определения этого уравнения. Это приводит к системе алгебраических уравнений относительно В случае аппроксимации (38) эта система имеет вид (41), где

Условие существования нетривиального решения системы дает частотное уравнение. Собственные формы находят по (38) после определения для каждого

При назначении точек коллокации должна быть учтена геометрическая и упругая симметрия системы. Вообще задача выбора этих точек связана с теорией интерполяции и аппроксимации [50].

Связь метода внутренней коллокации с методом Бубнова-Галеркина. Формулы (50) получаются из (48) выбором в качестве дельта-функций

Метод граничной коллокации. Для границ сложной формы может оказаться полезным представление решения в виде ряда (38) по координатным функциям удовлетворяющим уравнению (3) гл. IX, но не удовлетворяющим краевым условиям (1). Уравнения для определения коэффициентов получают из удовлетворения краевых условий в точках границы (у — число граничных условий).

Метод комбинированной коллокации. Если координа нэюфункции в (38) удовлетворяют только части граничных условий, например, толы о кинематическим условиям, то точки коллокаций выбирают и внутри области, и на ее границе.

Метод минимума среднеквадратичной ошибки [50]. Решение задачи (3) гл. IX и (1) аппроксимируется (49) или (38). Квадраты собственных частот и коэффициенты определяют из требования минимума среднеквадратичной ошибки Для нахождения служат уравнения При использовании ряда (38) и получаем формулу Релея (19) гл. IX.