5. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ

Моментные функции случайного поля. Рассмотрим n-мерное векторное пространственно-временное случайное поле (рис. 2). Система моментных функций порядка поля образуется путем перемножения реализаций его компонентов при различных значениях координат х и времени и осреднения по множеству реализаций

Моментные функции порядка представляют собой математические ожидания компонентов функции в произвольной точке х и в произвольный момент времени Моментные функции порядков характеризуют стохастическую связь компонентов в различных точках поля в различные моменты времени.

Взаимные корреляционные функции пространственно-временного случайного поля. Моментные функции порядка центрированного поля называют центральными моментными функциями, а моментные функции второго порядка — корреляционными функциями. Совокупность корреляционных функций образует тензорное поле удвоенного числа переменных

Рис. 2. К определению понятия пространственно-временного случайного поля

Спектральные разложения пространственно-временных случайных полей. Простейший тип спектрального разложения имеет вид

здесь некоторая полная система детерминистических вектор-функций; коэффициенты случайные функции времени Случайное поле задается полной системой совместных плотностей вероятности или полной системой моментных функций для процессов Система моментных функций поля с использованием разложения (40) находится по формулам

Стационарные пространственно-временные случайные поля. Здесь и ниже ограничимся рассмотрением скалярного поля Поле называется стационарным, если его вероятностные характеристики не меняются во времени. Моментные функции порядка зависят от разностей и не зависят от выбора начального момента наблюдения. Стационарное пространственно-временное поле называют эргодическим, если одна его достаточно продолжительная реализация содержит всю информацию о вероятностных свойствах поля. В этом случае моментные функции определяют путем осреднения соответствующих произведений сначала по времени, а затем по множеству реализаций.

Спектральное разложение стационарных пространственно-временных случайных полей. Рассмотрим случай канонического интегрального разложения типа (19),

Стационарное случайное поле допускает спектральное разложение

Случайная функция в пространстве обладает свойством стохастической ортогональности по т. е.

Здесь детерминистическая функция, связанная с соответствующей корреляционной функцией соотношением

и обладающая свойствами корреляционной функции по пространственным координатам и свойствами спектральной плотности по времени.

Однородные пространственно-временные случайные поля. Поле заданное во всем пространстве называют однородным, если его вероятностные характеристики инвариантны относительно сдвигов системы координат. Моментные функции порядка зависят от разностей координат Если однородное поле является эргодическим, то осреднение по множеству реализаций может быть заменено осреднением по всему пространству.

Спектральное представление однородных пространственно-временных случайных полей. Ограничимся случаем канонического интегрального представления однородного по х и стационарного по поля В этом случае поле допускает представление

где k — вектор с компонентами Спектр обладает свойством стохастической ортогональности

Здесь спектральная плотность. Корреляционная функция и спектральная плотность связаны соотношениями

Разложение (44), как и разложения (19), (41), носит формальный характер. Строгая интерпретация этих разложений требует применения понятия стохастического интеграла Фурье-Стильтьеса.

Однородные и изотропные случайные поля. Однородное случайное поле называют изотропным, если его вероятностные характеристики инвариантны относительно сдвигов, вращений и отражений системы координат во всем пространстве Корреляционная функция однородного и изотропного поля зависит только от модуля вектора а спектральная плотность — только от модуля волнового вектора Корреляционная функция и спектральная плотность однородного

и изотропного поля связаны соотношениями

здесь функции Бесселя.