2. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ ПРИ УЧЕТЕ СИЛ ВЯЗКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

Действие гармонической силы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид

где коэффициент трения. Частное решение уравнения (5), соответствующее уста новившимся вынужденным колебаниям, имеет вид

где декремент колебаний, фазовый угол, который находят из формулы

Рис. 4 Зависимость к от отношения частот

Коэффициент динамического усиления

Графики амплитудно-частотных характеристик (7) для различных значений представлены на рис. 4. Во всем частотном диапазоне амплитуды установившихся колебаний остаются конечными. Силы вязкого сопротивления оказывают заметное действие лишь в околорезонансной области. Максимальное значение х при

фиксипованном и частоте возбуждения

равно

При малых силах вязкого трения можно считать (с погрешностью что

График изменения фазового угла представлен на рис. 5. При резонансе независимо от величины сдвиг фаз всегда равен и энергия, поступающая в систему от внешней силы, максимальна.

Рис. 5. Фазочастотные характерно тики

Рис. 6. Изменение коэффициента передачи силы на фундамент в зависимости от

При переходе через резонанс угол изменяется тем быстрее, чем меньше трение.

Вязкое трение существенно влияет на силу передающуюся от колеблющегося объекта основанию. Амплитудное значение этой силы где коэффициент передачи при виброизоляции, равный отношению виброперемещения (вибро скорости, виброускорения) колеблющегося объекта или воздействующей иа него силы к значению этой же величины источника возбуждения:

На рис. 6 показана зависимость изменения коэффициента от при различных значения Все кривые проходят черед одну точку, абсцисса которой равна ордината равна единице. Для значений с ростом сил трения коэффициент увеличивается.

Случай произвольной периодической возмущающей силы. Пусть где период колебаний. Представим функцию в виде ряда Фурье

где постоянные, определяемые по следующим формулам гармонического анализа:

Частное решение уравнения (5) можно представить в виде разложения где

Дифференциальное уравнение (5) можно записать также в виде

где Тогда его частное решение будет

где

Метод комплексных амплитуд. При рассмотрении установившихся вынужденных колебаний этот метод является более экономичным, чем непосредственное аналитическое решение. Вместо уравнения (5) рассматривают уравнение для комплексной обобщенной координаты

Если частное решение уравнения (8), то — частное решение этого же уравнения для правой части, равной а для Пусть частное решение уравнения (8) имеет вид где

— комплексная амплитуда гармонического колебания. Обозначим комплексную личину где модуль

и аргумент

Частное решение уравнения (5) имеет вид

Динамические жесткость и податливость, механический импеданс. Динамической жесткостью механической системы называют отношение амплитуды внешней гармонической силы к комплексной амплитуде колебаний. Для системы с одной степенью свободы динамическая жесткость

Это понятие вводится по аналогии со статической жесткостью, как отношение силы к смещению в системе, вызванному данной силой. Для системы без демпфирования с действительная величина. При резонансе система обладает минимальной динамической жесткостью. В частности, для системы без демпфирования при нансе динамическая жесткость равна нулю.

Динамической податливостью системы называют величину, обратную динамической жесткости:

В окрестности резонанса динамическая податливость системы оказывается наибольшей (для системы без демпфирования она при резонансе принимает бесконечно большое значение). При значениях малых по сравнению с единицей, функция мало отличается от статической податливости.

Механическим импедансом системы или просто импедансом называют отношение амплитуды гармонической вынуждающей силы к комплексной амплитуде скорости при установившихся вынужденных колебаниях: