3. НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
Нормальные (главные) координаты. Сформируем по столбцам из собственных форм квадратную матрицу V
Преобразование подобия при помощи матрицы V приводит матрицу 
к диагональному виду, т. е.
а подстановка
связывающая первоначальные обобщенные координаты с новыми обобщенными координатами 
приводит уравнение (16) к виду
Матричное уравнение (39) описывает независимые колебания с собственными частотами 
относительно вновь введенных обобщенных координат 
Обобщенные координаты системы, которые описывают несвязанные свободные колебания, называют нормальными (главными) координатами. Нормальными координатами широко пользуются как при качественном описании колебательных процессов, так и в прикладных вибрационных расчетах. Формула (38), связывающая произвольно выбранные и нормальные обобщенные координаты, в развернутом виде записывается так:
Матрица преобразования (38) является ортогональной. Формула обратного преобразования имеет вид
В нормальных координатах квадратичные формы кинетической и потенциальной энергий приводятся к сумме квадратов:
Свободные колебания, удовлетворяющие начальным условиям. Пусть при 
заданы значения всех обобщенных координат и обобщенных скоростей:
Здесь 
числовые векторы. Общее решение уравнения свободных колебаний (16) равно сумме 
частных решений, каждое из которых описывает колебания с собственной частотой 
собственной формой 
Представим это решение в виде
Постоянные в правой части находят из условий (44) с учетом соотношений ортогональности (32) или (34). Например,
Эти формулы (как и некоторые последующие, в которых используются разложения по собственным формам) можно упростить, если ввести нормированные собственные формы, т. е. если выбрать произвольный множитель, с точностью до которого определяются собственные формы, из условий нормировки
