2. КЛАССИФИКАЦИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Понятие об уравнении системы. Классификация колебательных систем связана со свойствами операторного уравнения, устанавливающего зависимость между вектором состояния системы и вектором воздействий на систему со стороны окружающей среды:

Здесь оператор системы, включающий в себя все уравнения и дополнительные условия, необходимые для однозначного описания поведения системы при внешнем воздействии

Для механических систем операторное уравнение (1), как правило, сводится к совокупности некоторых дифференциальных уравнений с граничными и начальными условиями, а также с дополнительными соотношениями типа уравнений связи.

Системы с конечным числом степеней свободы и распределенные системы. Классифицировать колебательные системы можно по различным признакам. Одним из важнейших признаков является число степеней свободы системы, т. е. количество независимых числовых параметров, однозначно определяющих конфигурацию системы в любой фиксированный момент времени Понятие конфигурации само по себе

нуждается в определении. Здесь ограничимся указанием на то, что для механических систем под конфигурацией понимается положение всех точек системы в пространстве.

Различают системы с конечным и бесконечным числом степеней свободы. В последнем случае множество степеней свободы может быть либо счетным, либо континуальным. Системы, обладающие континуальным множеством степеней свободы, называют распределенными (континуальными). Число степеней свободы зависит от характера идеализации реальной системы. Упругие системы с распределенной массой являются распределенными системами; заменяя распределенную массу конечным числом сосредоточенных масс, получим систему с конечным числом степеней свободы. С математической точки зрения колебания систем с конечным числом степеней свободы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями; колебания распределенных систем — дифференциальными уравнениями в частных производных. Математическое описание весьма широкого и наиболее важного для приложений класса распределенных систем может быть сведено к бесконечным системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот класс распределенных систем эквивалентен, таким образом, системам с бесконечным счетным числом степеней свободы. Приближенная трактовка последних приводит к системам с конечным числом степеней свободы.

Линейные и нелинейные системы. Принцип суперпозиции. Система называется линейной, если ее оператор является линейным, т. е. удовлетворяет условию

для любых допустимых законов изменения состояния и любых числовых множителей Если условие (2) не выполняется, система называется нелинейной. Соотношение (2) содержит в себе принцип суперпозиции для линейных систем. Пусть при внешнем воздействии поведение системы описывается вектором , а при внешнем воздействии описывается вектором Тогда при внешнем воздействии поведение системы будет описываться вектором Принцип суперпозиции — одно из важнейших свойств линейных систем — широко используется как при теоретическом исследовании, так и в технических приложениях.

Стационарные и нестационарные системы. Если свойства системы не изменяются на данном отрезке времени, то систему называют стационарной на этом отрезке. Отрезком времени, в частности, может быть вся числовая ось Если свойства системы изменяются во времени, то ее называют нестационарной. Процессы, происходящие в стационарных системах, описываются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами; процессы, происходящие в нестационарных системах, - дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. В литературе встречаются также термины система с постоянными параметрами и система с переменными параметрами.

Автономные и неавтономные системы. В операторном уравнении (1) для автономной системы следует положить Колебательные процессы в автономных системах могут происходить лишь за счет внутренних источников энергии либо энергии, сообщенной системе в виде начального возмущения. Остальные системы называются неавтономными. Различие между автономными и неавтономными системами условно, поскольку граница, отделяющая систему от окружающей среды, выбирается при формулировке математической модели.

Консервативные и неконсервативные системы. Система называется консервативной, если ее полная механическая энергия остается постоянной при колебаниях. В противном случае система называется неконсервативной. В свою очередь, среди неконсервативных систем могут быть выделены системы, обладающие определенными характерными свойствами. Так, система называется диссипативной, если полная механическая энергия при любом движении соответствующей автономной системы убывает. Систему называют автоколебательной, если она стационарна и автономна и если при определенных условиях в ней возможно самовозбуждение колебаний. Автоколебательные системы характеризуются наличием в них источиика энергии неколебательной природы, причем поступление энергии регулируется движением самой системы.