3. ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА К УПРУГИМ ПЛАСТИНАМ

Динамический краевой эффект. Асимптотический метод [10] применяют для пластин, занимающих прямоугольную (в обобщенном смысле) область. Он дает хорошие результаты для высших частот. Однако в ряде случаев и для основной частоты этот метод дает приемлемые результаты. Для пластины постоянной толщины, когда уравнение колебаний имеет вид (1), порождающее решение будет следующим:

Собственную частоту выражают через волновые числа и

Вблизи края решение можно записать в следующем виде

Используя исходное уравнение (1), нетрудно получить уравнение для Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию ограниченности при удалении во внутреннюю область, будет следующим:

Рис. 2. Графическое решение уравнений стыковки асимптотического метода

Это решение описывает динамический краевой эффект вблизи края Первое слагаемое соответствует порождающему решению, второе — корректирующему или собственно краевому эффекту. Таким образом, в пластинах имеет место невырожденный неосциллирующий динамический краевой эффект. Протяженность краевого эффекта, определяемая экспоненциальным множителем во втором слагаемом (26), не превышает длины полуволны порождающего решения.

Постоянные С и в (26) выражают через волновые числа и при удовлетворении краевым условиям на этом краю.

Условия стыковки. Решения, аналогичные (26), строят вблизи всех краев пластины. Требование, чтобы с точностью до динамических краевых эффектов шения противоположных кромок совпадали, приводит к условиям стыковки

где и целые числа или нули, а равны тангенсам фазовых постоянных Для различных краевых условий выражения для и С даны в табл. 5.

Полученная система (27) может быть решена относительно волновых чисел методом последовательных приближений или графически. В качестве примера на плоскости волновых чисел (рис. 2) показаны зависимости, построенные согласно (27) для заделанной пластины. Точки пересечения кривых отвечают волновым числам, соответствующим определенным формам колебаний Частоты при этом находятся по формуле (24).

Пластины при различных краевых условиях. Точное решение уравнений стыковки получается для следующих случаев:

(см. скан)

бесконечная в одном направлении, заделанная по кромкам пластина при цилиндрическом изгибе:

квадратная заделанная пластина при

квадратная пластина, два противоположных края которой защемлены, а два оперты:

Асимптотический метод оказывается достаточно эффективным, так как он быстрее приводит к результатам, чем другие методы О точности можно судить по табл. 6 и 7, где дано сравнение значений частот, полученных асимптотическим и вариационным методами

Влияние тангенциальных усилий. Основное уравнение записывается в виде

Частота

6. Результаты Для оценки точности асимптотического метода (заделанная пластина)

(см. скан)

7. Результаты для оценки точности асимптотического метода (квадратная пластина)

(см. скан)

Решение вблизи края будет следующим:

Если край заделан, то

Краевой эффект может вырождаться при отрицательных (при где эйлерова критическая нагрузка).

Ортотропная пластина. Уравнение для форм колебаний имеет вид

где

Частота связана с волновыми числами соотношением

Вблизи края решение выглядит следующим образом:

а вблизи

Для заделанных сторон пластины равны: