6. ПОПЕРЕЧНЫЙ УДАР ПО УПРУГИМ БАЛКАМ

Элементарная теория. Пусть с высоты на балку постоянного сечения падает тело массы В элементарном подходе массой балки пренебрегают и используют теорему об изменении кинетической энергии. Предположения, что балка свободно оперта по концам и что удар приходится посредине между опорами, приводят к выражению для динамического смещения при ударе

где статический прогиб, определяемый элементарными методами сопротивления материалов. Следующий шаг уточнения состоит в учете приведенной массы балки (для опертой балки приведенная к середине балки масса равна Вместо (47) применяют формулу

Замечание. Формула (47) пригодна для любой упругой системы, если ее масса пренебрежимо мала по сравнению с массой груза, а форма динамического прогиба совпадает с формой статического прогиба. Формула (48) также допускает обобщение, если надлежащим образом вычислить приведенную массу.

Сен-Венан решил задачу в предположении, что тело после удара движется вместе с балкой (абсолютно неупругий удар). При таком предположении задача сводится к интегрированию (83) гл. при условиях:

Решение получено в виде разложения по собственным формам малых колебаний. Недостатком подхода Сен-Венана является предположение об абсолютно неупругом ударе, не позволяющее учесть возможность отскока массы и повторного удара.

Обобщение элементарной теории. Рассматривается прямой центральный удар двух тел с массами, равными массе ударяющего тела и приведенной массе балки. Для характеристики взаимодействия тел вводят коэффициент восстановления (приведенная масса вычисляется по кинетической энергии). Скорости тел после удара

Отсюда следует, что так что дальнейшее движение балки будет происходить отдельно от ударяющего тела. Далее снова применяется теорема об изменении кинетической энергии, и в результате для динамического прогиба получается формула

Приведенное решение не учитывает возможности повторного удара, когда тело догоняет балку, скорость которой уменьшается за счет действия упругих восстанавливающих сил.

Теория поперечного удара Тимошенко. Эта теория объединяет существенные положения теории Сен-Венана и Герца. Она учитывает местные деформации ударяющего по балке тела. Пусть тело в момент соприкосновения с балкой имеет скорость Если прогиб балки в точке удара обозначить через смещение тела — через а местное сжатие через а, то Это соотношение служит уравнением совместности при использовании метода расчленения, состоящего в раздельном рассмотрении движения тела и балки под действием сил контактного давления Исходными являются уравнения движения тела и балки

Эти уравнения должны быть проинтегрированы при начальных условиях

и краевых условиях для балки, соответствующих характеру закрепления концов. Дополнительным условием является зависимость между сближением а и силой контактного давления На параметр влияют геометрия соударяемых тел и упругие характеристики их материалов. Решением (52), удовлетворяющим (53), является

Задачу о движении балки можно решить методом собственных функций, представляя решение в виде разложения по балочным функциям опертой балки

Обобщенную координату находят из уравнения

решение которого при нулевых начальных условиях можно представить в виде интеграла Дюамеля (см. гл. VI)

Прогиб балки в месге удара

Контактное давление определяется из функционального уравнения 2

Это основное уравнение теории удара Тимошенко. Решалось оно различными авторами [34, 48] Поскольку уравнение (59) справедливо только при наличии контакта между ударяющим телом и балкой, при отсутствии контакта должны использо ваться уравнения (52) при

Рис. 4. Зависимость силы взаимодействия перемещения тела (2) и прогиба балки (3) при поперечном ударе

На рис. 4 представлены характерные результаты, относящиеся к случаю свободно опертой стальной балки, ударяемой посредине пролета стальным шаром при

При рассмотрении поперечного удара по пластинам и оболочкам также может быть использовано как обобщение элементарной теории Кокса, так и обобщение подхода Тимошенко [34, 48].