4. МНОГОПРОЛЕТНЫЕ ПЛАСТИНЫ

Основные уравнения и граничные условия. Пусть прямоугольная пластина, отнесенная к системе координат разделена на пролетов длиной жесткими линейными опорами. Для каждого пролета будет справедливо уравнение колебаний

Удобно для каждого пролета ввести свою систему координат На краях условия ставят, как обычно. На промежуточной опоре

Если опора не является жесткой в нормальном направлении, то первые два условия (38) заменяют на

жесткость опоры в нормальном направлении.

Точное решение. Точное решение возможно, если на краях имеют место условия свободного опирания. Тогда подстановка

сводит задачу к одномерной. Пусть После подстановки (40) в (37) получают уравнения, аналогичные (6), решения которых имеют вид

где и определяют согласно (8) с заменой на Входящие в (41) постоянные определяют из четырех условий на краях условий (38) или (39) на опорах. Равенство нулю определителя получающейся системы для дает уравнение частот. Например, для заделанных краев и условий (38) это уравнение будет иметь вид формулы (42) на стр 214,

Замечание. Уравнение частот может быть получено при использовании метода начальных параметров (см. гл. XI). В этом случае решение для следует записать в форме

где функции образующие фундаментальную систему Коши, имеют вид

Применение асимптотического метода. Уравнение частот при точном решении достаточно громоздко. Для других, пусть даже одинаковых на всех пролетах, условий при точное решение вообще найти не удается (кроме условий скользящей заделки). Для нахождения собственных частот и собственных форм можно рекомендовать асимптотический метод. Будем считать, что при условия закрепления по всем пролетам одинаковы. Порождающие решения для каждого пролета имеют вид

Здесь произвольные постоянные. Заметим, что одинаковы для всех пролетов. Частота

(см. скан)

Решение типа динамического краевого эффекта у края обозначим Тогда

Постоянные в последних двух выражениях несущественны. Удовлетворяя условиям (38), получим после исключения

Эти уравнения следует дополнить условиями при

и, кроме того, условиями стыковки решения по направлению

Вместо (46) можно использовать соотношение

Возможные потерянные корни при переходе к (49) содержатся среди корней уравнений

Уравнения (46) или (49) и (50) вместе с (47) и (48) образуют замкнутую систему для определения фазовых постоянных и волновых чисел Частоты определяют затем по формуле (45) [см. [71, 87]).