5. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Неустановившиеся колебания в системе описывают уравнением

с начальными условиями

Импульсная переходная функция. Рассмотрим вспомогательную задачу о действии на систему единичного мгновенного импульса приложенного в момент времени при нулевых начальных условиях. Соответствующее решение дифференциального уравнения (25) называют импульсной переходной функцией (иногда эту функцию называют весовой функцией или функцией Грина). Решение имеет вид

Частное решение. Пусть начальные условия — нулевые. Представим внешнюю вынуждающую силу в виде совокупности бесконечно малых импульсов (рис. 12). Суммируя реакцию системы от каждого такого импульса на отрезке времени (рис. 12), получим

Представление решения в форме (27) называют интегралом Дюамеля. Если вынуждающую силу представить в виде последовательности бесконечно малых приращений то частное решение уравнения (25) примет вид

Здесь сохранены обозначения, принятые в гл.

Воспользуемся частными решениями в форме (27) или (28) для вычисления безразмерной функции представляющей собой реакцию системы на действие произвольной вынуждающей силы

Рис. 12. Бесконечно малые импульсы силы

Рис. 13. Бесконечно малые приращения силы

Рис. 14 Частные случаи внеш ней силы

Результаты вычислений для различных законов изменения вынуждающих сил, распространенных в расчетной практике, представлены в табл. 1.

Пример. Пусть вынуждающаяся сила сначала возрастает по закону а затем, достигнув в момент значения остается постоянной (рис. 14, о). Такую силу можно представить в виде двух (рис. Тогда реакцию системы на действие при нулевых начальных условиях можно определить по иабл 1, строка 9 (для случая

Реакцию, вызываемую силой можно определить по той же строке таблицы, если заменить на и изменить знак результата:

При

(см. скан)

Продолжение табл. 1 (см. скан)

Общее решение уравнения (25). Его представляют в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, и частного решения, записанного в форме (27) или (28). Например, используя выражение (27), получим

Применение преобразования Лапласа. Интегрирование уравнения движения с заданными начальными условиями можно осуществить также путем применения преобразования Лапласа. Переход от оригинала функции и к ее изображению производят по формуле прямого преобразования Лапласа при условии, что и кусочно-непрерывна в любом конечном промежутке; существуют такие числа что для

Для уравнения (25) с начальными условиями и решение относительно изображений имеет вид

Искомое решение находят путем обратного преобразования Лапласа.

Пример. Пуаъ механическая систему (рис. 15, а) находится под действием ступенчатого внешнего возбуждения (рис. 15, б) Решение относительно изображения запишем в форме (30):

Используя правило преобразования простых дробей, получим значения в решение (31):

Рис. 15. Ступенчатое внешнее возбуждение

Обратное преобразование Лапласа дает реакцию системы

Установление вынужденных колебаний. Пусть на систему в момент начинает действовать гармоническая сила При нулевых начальных условиях, используя решение (27), получим

Процесс установления вынужденных колебаний в случае гармонической возбуждающей силы для различных соотношений между частотами показан на рис. 16.

Рис. 16 Процесс установления вынужденных колебаний Прохождение системы через резонанс. Пусть где угловое ускорение; начальный фазовый угол возбуждающей силы; мгновенная частота силы (в момент резонанса мгновенная частота равна частоте собственных колебаний системы т. е. Реакцию системы определим, используя решение (27):

Рис. 17. Прохождение системы через резонанс

Результат вычисления интеграла (34) для случая, когда представлен на рис. 17. Для каждого параметра изменяя фазовый угол можно получить семейство подобных кривых; показанные на рисунке огибающие позволяют определить наибольшую амплитуду. Чем больше ускорение тем меньше максимальная амплитуда колебаний и тем больше ее смещение от резонанса Аналогичные результаты были получены при учете сил вязкого трения [114].