7. ПЛОТНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ

Основные формулы. Для пологой оболочки, прямоугольной в плане, из формулы (39) гл. IX следует [13]

Здесь введены полярные координаты и использовано обозначение где характерные частоты

Интервал определяется неотрицательностью подкоренного выражения под интегралом (65). Параметр совпадаете плотностью частот для пластин

Замечание. Координаты можно занумеровать так, чтобы

Оценка для плотности частот получается дифференцированием (65) по со:

Интегралы, входящие в (67), могут быть выражены через эллиптические интегралы или вычислены в конечном виде . Для некоторых типов оболочек выражения для асимптотической плотности распределения приведены в табл. 2.

(см. скан)

Точки сгущения частот собственных колебаний оболочек. Анализ результатов интегрирования (67) позволяет выявить интересные свойства плотности частот собственных колебаний тонких упругих оболочек [13]. У зависимостей плотности частот существуют полюса, где обращается в бесконечность. Эти точки соответствуют точкам сгущения (см. гл. IX).

У оболочек положительной гауссовой кривизны имеется одна точка сгущения при В интервале плотность частот равна нулю и при стремится к плотности частот для пластин. Для оболочек нулевой гауссовой кривизны характер зависимостей будет аналогичным, но Частоты собственных колебаний оболочек отрицательной гауссовой кривизны имеют две точки сгущения при при увеличении частоты плотность собственных частот для оболочек отрицательной гауссовой кривизны стремится к плотности частот для пластин.

Рассмотренные точки сгущения принадлежат асимптотическим оценкам распределения собственных частот. Эмпирические плотности частот будут иметь соответствующие максимумы, если плотность достаточно высока.