2. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ РЕЗОНАНСЫ

Фундаментальная матрица Коши и матрица перехода. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений (3) с периодической матрицей коэффициентов Совокупность независимых решений системы (3) образует фундаментальною матрицу

где первый индекс обозначает номер функции, второй — номер решения. Фундамен тальную матрицу, удовлетворяющую начальному условию

называют фундаментальной матрицей Коши или матрицантом. Значения матрицанта в конце первого периода, т. е.

называют матрицей перехода (матрицей монодромии).

Мультипликаторы. Если известно решение системы (3) при то решение период матрицы выражается как

Собственные значения матрицы перехода — корни уравнения

называют мультипликаторами. Свойства решений уравнения (3), в частности устойчивость или неустойчивоегь его нулевого решения, полностью определяются свойствами мультипликаторов, точнее, свойствами характеристического уравнения (10). Для всякого мультипликатора найдется хотя бы одно решение, обладающее свойством

В частности, мультипликатору отвечает периодическое решение с периодом мультипликатору решение с периодом Далее эти решения называют соответственно и -периодическими.

Мультипликаторы системы уравнений с действительными коэффициентами — действительные или попарно комплексно-сопряженные числа. Если в уравнении (1) матрица матрицы и четные функции времени, т. е. то мультипликаторы попарно связаны соотношением

Соотношение (12) справедливо также для канонических систем (см. ниже).

Канонические системы. Уравнение (3) можно представить в виде

Здесь симметричная матрица-функция; матрица вида

— единичная матрица размерности Уравнения (13) в компонентах имеют ту же структуру, что и канонические уравнения Гамильтона в аналитической механике. Системы уравнений, приводимые к виду (13), а также соответствующие механические системы называют каноническими. Наиболее важный пример механических систем канонического типа — системы с идеальными голономными стационарными связями, нагруженные силами, которые выражаются через силовую функцию. Сели силовая функция — периодическая функция времени, то уравнения движения можно привести к виду (13) с периодической матрицей

Аналитическая форма решений. Пусть все мультипликаторы простые корни уравнения (10). Тогда независимые решения уравнения (3) имеют вид

где - периодические непрерывные функции;

характеристические показатели.

Если среди мультипликаторов имеются кратные, то структура решений зависит свойств элементарных делителей матрицы При простых элементарных делителях решения, соответствующие кратному корню, по-прежнему имеют вид (14), причем каждому мультипликатору кратности отвечает решений типа (14) с независимыми периодическими функциями Если же кратному корню соответствует блок нормальной формы Жордана размерностью то решение имеет вид

-столбцы, компоненты которых — полиномы от степени с -периодическими коэффициентами.

Условия устойчивости систем с периодическими параметрами. Решение уравнения (1) устойчиво по Ляпунову, если все мультипликаторы

Рис. 1. Типичные случаи расположения мультипликаторов на комплексной плоскости: а — устойчивость по Ляпунову; асимптотическая устойчивость; в — неустойчивость лежат в единичном круге причем мультипликаторы, лежащие на граничной окружности либо простые корни уравнения (9), либо имеют простые элементарные делители.

Решение уравнения (1) асимптотически устойчиво, если все мультипликаторы лежат внутри единичного круга Решение уравнения (1) неустойчиво, если среди мультипликаторов имеется хотя бы один, по модулю больше единицы, или найдутся кратные с непростыми элементарными делителями.

Случаи расположения мультипликаторов на комплексной плоскости представлены на рис. 1. Этим случаям соответствует рис. 1 гл. V для систем с постоянными параметрами, если характеристические показатели определять согласно (15).

Классификация параметрических резонансов. Рассмотрим механическую систему, движение которой описывается уравнением (1). При отсутствии параметрического возбуждения уравнение системы имеет вид

где симметричные положительно определенные матрицы. Пусть коэффициенты параметрически возбуждаемой системы заданы с точностью до двух параметров: частоты возбуждения (о и коэффициента возбуждения который характеризует интенсивность параметрического возбуждения (глубину модуляции параметров). Например, пусть уравнение (1) получается из (17) заменой на на на где периодические с периодом матрицы достаточно произвольной структуры. Диссипацию будем считать достаточно малой, например, удовлетворяющей условию (19) гл Для этого

класса параметрических систем область динамической неустойчивости на плоскости имеет ряд клиньев, заостряющихся в сторону малых Клинья примыкают к оси частот вблизи значений , находящихся в некоторых соотношениях с собственными частотами соответствующей консервативной системы, т. е. с положительными корнями уравнения . Именно эти частотные соотношения соответствуют параметрическим резонансом [9].

Параметрические резонансы, возникающие вблизи частот

называют простыми. В механических системах, для которых уравнение (1) распадается на независимые уравнения, описывающие изменение каждой обобщенной координаты в отдельности, возможны только простые резонансы.

Рис. 2. Движение мультипликаторов при пересечении границы области устойчивости: в — канонические системы, системы с диссипацией

Параметрические резонансы, возникающие вблизи частот

называют комбинационными. Эти резонансы, обусловленные попарным взаимодействием форм колебаний, возможны только в системах, совершающих связанные колебания. В зависимости от знака в правой части формулы (19) различают комбинационные резонансы суммарного типа (суммарные резонансы) и комбинационные резонансы разностного типа (разностные резонансы). В канонических системах и (в силу непрерывности) в системах, достаточно близких к каноническим, возможны только резонансы суммарного типа.

В зависимости от значения целых чисел в соотношениях (18) и (19) различают главные (при и побочные резонансы (при Число называют порядком резонанса. Согласно этой терминологии резонанс при будем называть комбинационным резонансом разностного типа третьего порядка.

Характер решений на границах областей неустойчивости. Для канонической системы [116] все мультипликаторы в области устойчивости находятся на единичной окружности. При переходе в область неустойчивости, соответствующую простому пезонаису, мультипликаторы становятся кратными, принимая значения либо либо а и б). В первом случае одно решений на границе будет периодическим, во втором оно будет -периодическим. При комбинационных резонансах мультипликаторы покидают единичную окружность через точки, отличные от Этим значениям мультипликаторов отвечает почти периодическое решение уравнения (1). Такой же характер поведения будет в системах более общего типа, мультипликаторы которых удовлешоряют соотношению (12).

Для систем, где условие (12) не выполняется (например, для систем с диссипацией), типичны случаи, показанные на рис. в области устойчивости все мультипликаторы лежат внутри единичного круга, а на границе области один или пара комплексно-сопряженных мультипликаторов попадает на единичную окружность. Уравнение (1) имеет при этом соответственно хогя бы одно периодическое или почти периодическое решение.