4. ТЕОРИЯ ВЫБРОСОВ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Среднее число выбросов одномерного процесса за уровень. Для отыскания оценок функции надежности необходимо определить числовые характеристики выбросов случайных процессов из области допустимых состояний, в частности, математическое ожидание положительных пересечений векторным процессом предельной поверхности в пространстве качества V и среднее число выбросов в единицу времени (20).

Рассмотрим Непрерывный дифференцируемый одномерный случайный процесс с заданной совместной плотностью вероятности процесса и его производной в совпадающие моменты времени. Среднее число положительных пересечении в единицу времени процессом детерминистического уровня

Рис. 6. Реализация случайного процесса и Детерминистическая функция

Если ввести вспомогательный процесс то задачу о выбросах процесса за переменный уровень можно свести к вычислению характеристик выбросов процесса за нулевой уровень [105]:

Если ограничения являются двусторонними, то среднее число выбросов в единицу времени из области находят как сумму положительных пересечений уровня и отрицательных пересечений уровня

Для нахождения характеристик выбросов необходимо вычислить совместную плотность вероятности Для этого нужно знать двухмерную плотность вероятности процесса в несовпадающие моменты времени,

Если обозначить — то искомую плотность вероятности можно найти после перехода от переменных формуле

Пересечения нормального процесса с детерминистической кривой. Для нормального процесса совместная плотность вероятности

где соответственно математические ожидания, дисперсии и коэффициент корреляции процесса и его производной. В общем случае ли параметры

являются функциями времени. Формулы (23) или (24) принимают вид

где

Формулу (26) можно обобщить на случай, когда есть также нормальный случайный процесс. При этом среднее число положительных пересечений в единицу времени находят по формуле (26), если в последней сделать замену

где коэффициент корреляции процесса и его производной. Предполагается, что процессы не коррелируют.

Некоторые примеры применения формулы (26) для стационарного процесса приведены в табл. 1.

1. Среднее число выбросов в единицу времени для различных уровней

(см. скан)

Среднее число максимумов (минимумов) и их распределение. При исследовании процесса накопления повреждений важную роль играет изучение максимальных (минимальных) значений случайного процесса. Среднее число максимумов в единицу времени, превышающих уровень

При этом предполагают, что процесс является непрерывным и дважды дифференцируемым с заданной совместной плотностью вероятности про-процесса и его первых двух производных. Аналогично определяют среднее число минимумов в единицу времени, превышающих уровень

Рис. 7. Плотность вероятности максимумов нормального стационарного процесса

При расчете вибрационной надежности важно знать не только числовые характеристики экстремумов случайного процесса, но и их распределения. Плотность вероятности максимумов

Штрихом обозначена операция дифференцирования Аналогичный вид имеет плотность вероятности минимумов.

Для стационарного нормального процесса выражение для плотности вероятности максимумов (27) имеет вид [12]

где

коэффициент широкополосности процесса, который изменяется от (для узкополосного процесса) до значений (для широкополосного процесса). Если то распределение максимумов приближенно следует распределению Релея. При распределение (28) приближается к нормальному с математическим ожиданием а и дисперсией о. Для промежуточных значений параметра вид распределения (28) показан на рис. 7.

Выбросы многомерного процесса из области допустимых состояний. Для многомерного пространства качества V среднее число выбросов в единицу времени стационарного гауссовского процесса за пределы поверхности вычисляют по формулам, приведенным в табл. 2.

(см. скан)

(см. скан)