7. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ УПРУГО ПОДВЕШЕННЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Построение матрицы преобразования усилий. Уравнения (83) можно распространить на механические системы, состоящие из абсолютно твердых тел, соединенных друг с другом и основанием упругими элементами, амортизаторами и опорами. Число твердых тел, их взаимное расположение, число, расположение и динамические характеристики упругих элементов могут быть произвольными.

Рис. 7. Система упруго подвешенных твердых тел

Наряду с неподвижной системой координат введем систему координат жестко связанную с телом (рис. 7). Введем вектор обобщенных координат системы как прямую сумму векторов при Обозначим множества целых чисел, определяющие номера упругих опор, расположенных между телами системы, через и множества целых чисел, определяющие номера упругих опор, присоединенных к телу, через причем

Предположим далее, что упругая опора произвольно ориентирована в пространстве; характеристики такой опоры будем описывать матрицей в главных осях жесткости опоры С элементы этой матрицы заданы.

Введем матрицу преобразования усилия, заданного в системе отсчета в точке при приведении его в точку системе отсчета.

Матрица преобразования строится следующим образом. Положение произвольных систем координат задается в системе осей координатами полюса и косинусами углов наклона соответствующих осей. Тогда косинусы углов между произвольными системами осей определяются следующим образом: Здесь — матрица косинусов углов между осями систем координат; заданные матрицы косинусов углов между осями или систем координат и осями системы координат Вследствие того, что все системы координат ортогональные, выполняется соотношение

Главный вектор и главный момент сил, определяемые в системе координат, при проведении к различным точкам той же системы преобразуются следующим образом:

где вектор в системе координат с началом в точке и концом в точке Проекции этого вектора на оси системы координат

Здесь координаты точек в системе осей.

Выразим составляющие вектора через величины, задаваемые в неподвижной системе координат где -вектор, заданный в неподвижной системе. Тогда соотношения (86) примут вид

где координаты точек в неподвижной системе координат.

Матрица преобразования включает как преобразование переноса в стеме осей, так и преобразование поворота до совпадения ее с осями системы координат:

Подставляя выражения (85) и (87) в выражение (88), получим матрицу преобразования в виде

Косинусы углов определяются по формуле (85), приращения по формулам (87).

Матричная форма уравнений свободных колебаний. Уравнения свободных колебаний системы упруго подвешенных тел имеют вид (83), где матрицы размерностью Матрица А имеет блочно-диагональную структуру:

где матрица инерционных коэффициентов размерностью отдельно взятого тела. Если главные оси инерции тела совпадают с осями неподвижной

системы координат то матрица будет диагональной. Матрица С имеет блочную структуру:

Построение блоков матрицы (91) аналогично построению матрицы (72), а именно: