3. МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ ФУНКЦИИ НАДЕЖНОСТИ

Связь теории надежности с теорией выбросов случайных процессов. Чтобы вычислить функцию надежности по известным вероятностным характеристикам процесса нужно уметь находить вероятность пребывания случайных процессов в заданной области на заданном отрезке времени, что является задачей теории выбросов случайных процессов 112, 105].

Выбросом процесса из области называют пересечение процессом предельной поверхности в направлении внешней нормали к ней. Выброс является случайным событием, а число выбросов на отрезке — случайной величиной. К сожалению, даже для одномерного случайного процесса и одностороннего ограничения типа задача теории выбросов допускает полное решение только в некоторых частных случаях. Для многомерных случайных процессов и для допустимых областей сложной конфигурации и тем более для функциональных пространств качества приходится применять приближенные методы. Эффективное приближенное решение задачи теории выбросов удается найти для высоконадежных систем, у которых выброс вектора качества из допустимой области является редким событием.

Кумулятивные модели отказов. Для выпуклых областей функцию надежности можно записать при помощи надлежаще выбранной нормы в пространстве V:

Здесь и, — предельно допустимое значение этой нормы. Например, для допустимой области в виде (11) норму можно представить как

причем

Процесс называют кумулятивным (квазимонотонным) на отрезке по норме если при любых

Важным примером кумулятивного процесса служит процесс, компоненты которого равны мерам «незалечивающихся» повреждений. Так, мера усталостного повреждения вводится как

где некоторая неотрицательная функция от меры повреждения и некоторого характерного (например, максимального) напряжения цикла нагружения При этом принимается, что

Функция надежности кумулятивного процесса непосредственно выражается через одномерную плотность вероятности вектора в момент времени

или

Формула (14) совпадает виду с формулой для вероятности ненарушения условия в элементарных расчетах на надежность, когда качество системы описывается при помощи числового вектора

Марковские модели отказов. Если эволюция вектора в пространстве V есть диффузионный марковский процесс, то его переходная плотность вероятности удовлетворяет уравнениям Колмогорова [см. (36) и (38) в гл. XVII] с соответствующими начальными условиями. Условная по отношению к вектору начальных данных функция надежности связана с переходной вероятностью соотношением

Пусть интенсивности и процесса не зависят от времени. Тогда функция надежности удовлетворяет обратному уравнению Колмогорова

с начальным условием и граничным условием

Точное решение уравнения (15) удается получить лишь в немногих частных случаях, не представляющих большого интереса для вибрационных расчетов. Вид граничного условия (16) подсказывает простой и эффективный путь нахождения приближенных решений функцию надежности представляют в форме ряда по координатным функциям, обращающимся в нуль на а коэффициенты ряда — функции времени — определяют из обыкновенных дифференциальных уравнений метода Бубнова — Галеркина.

Приближенные и двусторонние оценки функции надежности. Рассмотрим вероят ностные модели, в которых отказы образуют ординарный поток, т. е. вероятность повторения отказа на малом отрезке времени имеет порядок Для таких моделей известны эффективные оценки функции надежности, выраженные через моменты числа выбросов [12].

Пусть т. е. в начальный момент времени система с вероятностью, равной единице, находится в допустимой области. Тогда для функции надежности имеет место строгая оценка снизу [12]:

Если привлечь моменты второго, третьего и т. д. порядков от числа выбросов, то можно получить двусторонние оценки, например,

К сожалению, нахождение моментов высших порядков связано с возрастающими аналитическими и вычислительными трудностями.

Функция надежности высоконадежных систем. Пусть выполняется условие Системы, удовлетворяющие этому условию, называют высоконадежными. Для таких систем может быть использована приближенная оценка, основанная на соотношении (17), взятом со знаком равенства

Эта оценка близка к той, которая получается при условии, что отказы образуют пуассоновский поток:

В самом деле, переход от (19) к (18) соответствует разложению экспоненты в степенной ряд с удержанием первых двух членов. Введя математическое ожидание числа вы бросов в единицу времени

представим формулы (18) и (19) в виде

Сравнение формул (22) и (5) показывает, что функция к имеет смысл интенсивности отказов. При из (21) и (22) получаем соответственно линейную и экспоненциальную зависимость функции надежности от времени (рис. 4). В связи с этим говорят о линейной и об экспоненциальной оценках функции надежности. Формулы (18) и (21) сравнительно простые; они особенно предпочтительны, если требуется дальнейшая аналитическая обработка.

Учет вероятности отказа в начальный момент времени. Оценки (17)-(19) полу чены при условии Если то обобщением оценки (19) будет зависимость

При этом в правую часть формулы должно входить число выбросов, определенное на множестве реализаций, выходящих при из области

Рис 4. Функция надежности и ее оценки

Рис. 5. Функция надежности с учетом вероятности отказа в начальный момент времени

Таким образом, приходим к необходимости рассматривать условные процессы. Однако неравенство справедливо и в том случае, если под понимается число выбросов безусловного процесса (рис. 5).

Применение теории надежности к распределенным упругим системам. Общие принципы теории надежности могут быть распространены на распределенные системы [12], в которых векторами качества будут некоторые функции координат и времени (пространственно-временные случайные поля), а пространство V будет функциональным. Приближенные оценки (18) и (19) функции надежности справедливы и в этом случае, если число выбросов трактовать определенным образом. Например, пусть скалярное поле, и условие качества задается в виде Тогда равно числу выбросов поля за уровень в пространственно-временном цилиндре В свою очередь, математическое ожидание числа выбросов может быть выражено через математические ожидания числа критических точек поля в Существует подход к оценке надежности распределенных систем, основанный на представлении вектора качества в виде ряда по некоторым координатным функциям с коэффициентами — случайными функциями времени. В результате оценка функции надежности сводится к вычислению среднего числа выбросов из области в конечномерном пространстве.