2. МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО МОМЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ

Стационарные линейные системы с конечным числом степеней свободы. Ниже будут рассмотрены методы решения основной задачи применительно к системе уравнений

Здесь вектор обобщенных координат (матрица-столбец размерностью вектор обобщенных сил той же размерности; постоянные матрицы (соответственно инерционная, диссипативная и квазиупругая). Случай переменных коэффициентов представляет особые трудности и будет рассмотрен отдельно в гл. XIX. Векторы являются случайными процессами. Уравнения (3) рассматривают либо совместно с начальными условиями, либо (для стационарных процессов) совместно с условиями стационарности, требующими инвариантности вероятностных характеристик процессов относительно выбора начального момента времени.

Матрицы будем считать детерминистическими. Если же они случайны, то решение задачи можно разбить на два этапа: на первом рассмотреть условные процессы в системе с заданными матрицами на втором этапе перейти к безусловным процессам, применяя формулу полной вероятности или производя осреднение по всему ансамблю систем со случайными параметрами.

Дифференциальные уравнения относительно моментных функций. Оператор для системы (3) — линейный, стационарный и детерминистический. Он переставим с оператором осреднения по ансамблю реализаций процесса Для получения дифференциальных уравнений относительно моментных функций перемножаем уравнения (2) при различных затем осредняем почленно результат:

Здесь оператор, действующий на функции переменной т. е. переводящий процесс в процесс Первое уравнение (4) связывает математические ожидания входного и выходного процессов. Остальные уравнения связывают моментные функции второго, третьего и т. д. порядков. Если векторные процессы, то произведения в уравнениях (4) должны трактоваться как прямые (тензорные) произведения. Например, произведение и есть квадратная матрица размерностью составленная из упорядоченных попарных произведений компонентов так что второе уравнение (4) имеет вид

Решения уравнений (4) должны удовлетворять начальным условиям, которые получаются из аналогичных условий для или (для стационарных процессов) условиям стационарности.

Дифференциальное уравнение для корреляционной функции одномерного процесса. Для корреляционной функции одномерного процесса и имеем уравнение

Здесь корреляционная функция для одномерного процесса Уравнение (5) — дифференциальное уравнение в частных производных. Если начальные условия для и нулевые, то дополнительные условия для функции

При отыскании стационарной реакции системы на стационарное внешнее воздействие введением новой переменной уравнение (5) приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно функции

Пример. Пусть уравнение (3) имеет вид

где собственная частота; коэффициент демпфирования. Уравнение (5) для этого случая будет

Для стационарных процессов корреляционные функции процессов и связаны уравнением

Функция и ее производная должны быть ограничены на бесконечности; кроме того, функция должна быть четной. В качестве простейшего примера возьмем процесс в виде белого шума с интенсивностью Тогда

Ищем решение однородного уравнения на отрезке с начальными условиями

и с условием ограниченности на бесконечности. В результате находим

где собственная частота системы, вычисленная с поправкой на демпфирование