3. УЧЕТ ДИССИПАЦИИ В УРАВНЕНИЯХ ДВИЖЕНИЯ. ВЯЗКОУПРУГОЕ ПОВЕДЕНИЕ ДЕФОРМИРУЕМЫХ МАТЕРИАЛОВ

Классификация моделей диссипации. Причины, приводящие к рассеянию энергии в упругих системах, условно могут быть разбиты на три группы. Первую группу составляют потери энергии в окружающую среду («внешнее» трение). Ко второп группе относят потери, вызванные внутренними процессами в материале системы («внутреннее» трение). Наконец, третью группу образуют потери, связанные с трением в опорах, шарнирах и т. п. («конструкционное» трение). Границы между указанными группами не всегда можно провести достаточно четко.

С учетом диссипативных сил уравнения движения можно записать следующим образом:

где В — диссипативный оператор. Вид диссипативного оператора существенно зависит от вида модели трения.

Учет конструкционного трения приводит, как правило, к нелинейным соотношениям. В связи с этим эту группу причин диссипации энергии в упругих системах при динамических процессах в данной книге не рассматривают.

Относительно простой линейной моделью является модель внешнего трения. Считается, что диссипативные силы вязкие и пропорциональны скоростям движения. В случае внешнего трения и полной диссипации диссипативный оператор В пропорционален инерционному оператору:

так что уравнения движения можно записать так:

Внутреннее трение связано с диссипативными процессами, происходящими во время колебаний в материале системы. Разнообразие свойств конструкционных материалов, в частности их диссипативных свойств, обусловило многообразие моделей учета диссипации энергии при динамических процессах. Условно эти модели можно разделить на два класса: к первому относят нелинейные модели, описывающие гистерезисные явления при циклическом деформировании (использование этих моделей приводит к нелинейным уравнениям движения, поэтому эти модели в данной книге не рассматривают ко второму — модели, связанные с вязкоупругим поведением материалов при деформировании.

Поведение материала, коюрое объединяет в себе свойства упругости и вязкости, называют вязкоупругим. Предельными противоположными случаями большого числа вязкоупругих сред являются упругое тело и вязкая жидкость.

Простейшие модели вязкоупругого поведения. Дифференциальная форма связи между напряжениями и деформациями. Для описания одномерного процесса деформирования вязкоупругих сред могут быть использованы механические модели,

состоящие из линейных пружин и демпферов, соединенных определенным образом. Различные соединенияпозволяют моделировать различные уравнения, связывающие напряжение а, деформацию и их производные по времени. Некоторые наиболее употребительные моде описаны в табл. 1.

1. Модели вязкоупругого поведения материалов

(см. скан)

В общем случае связь между напряжением и деформацией может быть записана в следующей дифференциальной форме:

или в операторной форме

При переходе к трехмерной теории линейной вязкоупругости эффекты формоизменения и изменения объема изучают независимо. Математически это соответствует разложению тензоров напряжений и деформаций на шаровую часть и девиатор:

Основные соотношения линейной вязкоупругости в дифференциальной форме имеют вид

Замечание. Довольно часто считают, что изменение объема происходит чисго упруго и последнее соотношение заменяют на

Интегральная форма связи между напряжениями и деформациями. Если в момент мгновенно приложено напряжение которое в дальнейшем остается постоянным, то происходит изменение деформации со временем, которое называют ползучестью:

где функция ползучести. Если в момент мгновенно фиксируется деформация которая затем остается со временем неизменной, то происходит изменение напряжения со временем, которое называют релаксацией:

где функция релаксации.

В линейной теории вязкоупругости применим принцип суперпозиции. Поэтому представление процесса нагружения во времени как последовательного ступенчатого нагружения позволяет получить зависимость между деформацией и напряжением в виде интеграла наследственности

Предположение, что до в теле отсутствовали напряжения и деформации и что в момент имело место ступенчатое нагружение, позволяет записать выражение

При при где мгновенный модуль упругости. После интегрирования по частям выражение (43) принимает вид

Здесь пядро ползучести

Соотношения, подобные (43) и (44), но разрешенные относительно получаются в результате аналогичных рассуждений при использовании функции релаксации

При получении последнего соотношения путем интегрирования по частям (45) использовано, что Входящая в (46) функция называется ядром релаксации.

Если (46) рассматривать как интегральное уравнение Вольтерра относительно то ядро ползучести будет резольвентой этого уравнения.

Для стандартного тела (см. табл. 1) для определения имеем уравнение

которое необходимо проинтегрировать при условии Искомый интеграл имеет вид

Отсюда

Итак, для стандартного тела ядро релаксации является экспоненциальной функцией. Следовательно, и ядро ползучести будет экспоненциальной функцией. Вообще при связи между напряжением и деформацией, заданной дифференциальным соотношением с постоянными коэффициентами, ядра релаксации и ползучести будут представлять собой суммы экспоненциальных функций. Дифференциальные соотношения описывают поведение определенных линейных вязкоупругих сред, так называемых сред с дискретным спектром времен релаксации. Большинство же полимерных материалов, как показывают эксперименты, обладают сплошным спектром. Для сред со сплошным спектром ядра ползучести и релаксации были предложены многими авторами (см. [46, 55, 90]). Некоторые из предложений сведены в табл. 2, где представлены ядра релаксации и их резольвенты.

Зависимости типа (44), (46) обобщаются на случай трехмерного состояния. Например, вместо (46) получим

где мгновенный модуль сдвиг мгновенный объемный модуль; ядро релаксации для дсвиатора; ядро релаксации для объемной деформации.

Комплексные модули и податливости. Если задано напряжение, изменяющееся по гармоническому закону

то в результате устанавливается деформированное состояние, меняющееся по гармоническому закону с той же частотой, но со сдвигом по фазе:

2. Ядра релаксации и их резольвенты

(см. скан)

Обобщение описания вязкоупругого поведения достигается представлением напряжения и деформации в комплексной форме

При таком представлении связь между напряжением и деформацией записывают с введением комплексного модуля

Для модели (37) комплексный модуль

Отношение мнимой части комплексного модуля к его действительной части называют тангенсом потерь:

Эта характеристика может служить мерой рассеяния энергии в единице объема вязкоупругого материала при колебаниях.

При введении комплексной податливости можно записать

При распространении основных понятий на трехмерный случай вводят комплексный модуль сдвига и комплексный объемный модуль на классе гармонических движений следующим образом:

Уравнения динамики линейных вязкоупругих систем. Уравнения движения вязкоупругого тела по форме аналогичны уравнениям движения упругого тела при условии, что вместо упругих констант в эти уравнения должны быть внесены операторы. Динамические уравнения Ламе примут вид

где

Операторы устанавливают связь между напряжениями и деформациями (компонентами девиаторов и средними значениями):

Эти операторы берут либо в виде интегралов наследственности (50), либо дифференциальных операторов (39), либо комплексных модулей (58).

При использовании уравнений движения в форме (33) необходимо получить явное выражение для диссипативного оператора В. Так, если для описания вязкоупругого поведения материала используется модель Фойхта (см. табл. 1), то

где положительная постоянная (коэффициент внутреннего трения). Для систем из линейного вязкоупругого материала с наследственным трением вводится наследственный оператор с ядром так что

Ядро выбирают по табл. 2.

Более подробные сведения по вопросам вязкоупругости можно найти в монографиях [49 , 55, 90].