Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3. УЧЕТ ДИССИПАЦИИ В УРАВНЕНИЯХ ДВИЖЕНИЯ. ВЯЗКОУПРУГОЕ ПОВЕДЕНИЕ ДЕФОРМИРУЕМЫХ МАТЕРИАЛОВКлассификация моделей диссипации. Причины, приводящие к рассеянию энергии в упругих системах, условно могут быть разбиты на три группы. Первую группу составляют потери энергии в окружающую среду («внешнее» трение). Ко второп группе относят потери, вызванные внутренними процессами в материале системы («внутреннее» трение). Наконец, третью группу образуют потери, связанные с трением в опорах, шарнирах и т. п. («конструкционное» трение). Границы между указанными группами не всегда можно провести достаточно четко. С учетом диссипативных сил уравнения движения можно записать следующим образом:
где В — диссипативный оператор. Вид диссипативного оператора существенно зависит от вида модели трения. Учет конструкционного трения приводит, как правило, к нелинейным соотношениям. В связи с этим эту группу причин диссипации энергии в упругих системах при динамических процессах в данной книге не рассматривают. Относительно простой линейной моделью является модель внешнего трения. Считается, что диссипативные силы вязкие и пропорциональны скоростям движения. В случае внешнего трения и полной диссипации диссипативный оператор В пропорционален инерционному оператору:
так что уравнения движения можно записать так:
Внутреннее трение связано с диссипативными процессами, происходящими во время колебаний в материале системы. Разнообразие свойств конструкционных материалов, в частности их диссипативных свойств, обусловило многообразие моделей учета диссипации энергии при динамических процессах. Условно эти модели можно разделить на два класса: к первому относят нелинейные модели, описывающие гистерезисные явления при циклическом деформировании (использование этих моделей приводит к нелинейным уравнениям движения, поэтому эти модели в данной книге не рассматривают Поведение материала, коюрое объединяет в себе свойства упругости и вязкости, называют вязкоупругим. Предельными противоположными случаями большого числа вязкоупругих сред являются упругое тело и вязкая жидкость. Простейшие модели вязкоупругого поведения. Дифференциальная форма связи между напряжениями и деформациями. Для описания одномерного процесса деформирования вязкоупругих сред могут быть использованы механические модели, состоящие из линейных пружин и демпферов, соединенных определенным образом. Различные соединенияпозволяют моделировать различные уравнения, связывающие напряжение а, деформацию 1. Модели вязкоупругого поведения материалов (см. скан) В общем случае связь между напряжением и деформацией может быть записана в следующей дифференциальной форме:
или в операторной форме
При переходе к трехмерной теории линейной вязкоупругости эффекты формоизменения и изменения объема изучают независимо. Математически это соответствует разложению тензоров напряжений и деформаций на шаровую часть и девиатор:
Основные соотношения линейной вязкоупругости в дифференциальной форме имеют вид
Замечание. Довольно часто считают, что изменение объема происходит чисго упруго и последнее соотношение заменяют на Интегральная форма связи между напряжениями и деформациями. Если в момент
где
где В линейной теории вязкоупругости применим принцип суперпозиции. Поэтому представление процесса нагружения во времени как последовательного ступенчатого нагружения позволяет получить зависимость между деформацией и напряжением в виде интеграла наследственности
Предположение, что до
При
Здесь Соотношения, подобные (43) и (44), но разрешенные относительно
При получении последнего соотношения путем интегрирования по частям (45) использовано, что Если (46) рассматривать как интегральное уравнение Вольтерра относительно Для стандартного тела (см. табл. 1) для определения
которое необходимо проинтегрировать при условии
Отсюда
Итак, для стандартного тела ядро релаксации является экспоненциальной функцией. Следовательно, и ядро ползучести будет экспоненциальной функцией. Вообще при связи между напряжением и деформацией, заданной дифференциальным соотношением с постоянными коэффициентами, ядра релаксации и ползучести будут представлять собой суммы экспоненциальных функций. Дифференциальные соотношения описывают поведение определенных линейных вязкоупругих сред, так называемых сред с дискретным спектром времен релаксации. Большинство же полимерных материалов, как показывают эксперименты, обладают сплошным спектром. Для сред со сплошным спектром ядра ползучести и релаксации были предложены многими авторами (см. [46, 55, 90]). Некоторые из предложений сведены в табл. 2, где представлены ядра релаксации и их резольвенты. Зависимости типа (44), (46) обобщаются на случай трехмерного состояния. Например, вместо (46) получим
где Комплексные модули и податливости. Если задано напряжение, изменяющееся по гармоническому закону
то в результате устанавливается деформированное состояние, меняющееся по гармоническому закону с той же частотой, но со сдвигом по фазе:
2. Ядра релаксации и их резольвенты (см. скан) Обобщение описания вязкоупругого поведения достигается представлением напряжения и деформации в комплексной форме
При таком представлении связь между напряжением и деформацией записывают с введением комплексного модуля
Для модели (37) комплексный модуль
Отношение мнимой части комплексного модуля к его действительной части называют тангенсом потерь:
Эта характеристика может служить мерой рассеяния энергии в единице объема вязкоупругого материала при колебаниях. При введении комплексной податливости можно записать
При распространении основных понятий на трехмерный случай вводят комплексный модуль сдвига и комплексный объемный модуль на классе гармонических движений следующим образом:
Уравнения динамики линейных вязкоупругих систем. Уравнения движения вязкоупругого тела по форме аналогичны уравнениям движения упругого тела при условии, что вместо упругих констант в эти уравнения должны быть внесены операторы. Динамические уравнения Ламе примут вид
где
Операторы
Эти операторы берут либо в виде интегралов наследственности (50), либо дифференциальных операторов (39), либо комплексных модулей (58). При использовании уравнений движения в форме (33) необходимо получить явное выражение для диссипативного оператора В. Так, если для описания вязкоупругого поведения материала используется модель Фойхта (см. табл. 1), то
где
Ядро Более подробные сведения по вопросам вязкоупругости можно найти в монографиях [49 , 55, 90].
|
1 |
Оглавление
|