7. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Предварительные замечания. Если задача о параметрических колебаниях распределенной системы сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, то дальнейший анализ может быть проведен методами, описанными в гл. VII. Для обобщенного особого случая, а также для общего случая используют численные методы из гл. VII. Области параметрического резонанса для распределенных систем строят либо путем совмещения областей неустойчивости, полученных для отдельных
обобщенных координат, либо по результатам численного анализа усеченных систем, соответствующих бесконечным системам типа (31), В качестве примера на рис. 10 построены главные области неустойчивости для опертого на одном конце и защемленного на другом конце стержня, сжатого периодической силой
Рис. 10. Области неустойчивости для стержня, сжатого периодической силой
Случай плотного спектра собственных частот. Если спектр собственных частот достаточно гпотен, то области неустойчивости, соответствующие различным обобщенным координатам, могут накладываться друг на друга, заполняя обширные области в пространстве параметров. Примером может служить задача о параметрических колебаниях тонкостенной сферической оболочки под действием пульсирующего давления (см. табл. 1). Спектр собственных частот, рассчитанный согласно теории пологих оболочек, начинается с частоты и тем плотнее, чем меньше относительная толщина оболочки Допустим, что нас интересует область неустойчивости, получившаяся в результате наложения главных областей для каждой из обобщенных координат. По приближенной формуле (28) из гл. VII нижняя граница главной области неустойчивости для обобщенной координаты с собственной частотой и критическим параметром определяется из выражения
Рис. 11. Область неустойчивости для сферической оболочки, находящейся под действием пульсирующего давления
Здесь безразмерный параметр, характеризующий собственные формы замкнутой оболочки. Явное выражение для содержится, например, в табл. 1. При достаточно плотном спектре собственных частот параметр К можно считать непрерывным (рис. 11). Строя обычным способом огибающую семейства кривых (58), приходим к формуле
Здесь — минимальная собственная частота, упоминавшаяся ранее; минимальное критическое давленге в классической теории упругой устойчивости
Учет диссипации энергии. Уравнение параметрических колебаний в линейной системе с учетом диссипативных сил имеет вид
Оно отличается от уравнения (25) наличием члена с диссипативным оператором В. Используя разложение (26), придем к системе уравнений относительно обобщенных координат. Обычно это обыкновенные дифференциальные уравнения того типа, который был подробно рассмотрен в гл. VII. Исключение составляет случай наследственного оператора В. При этом получается система интегро-дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат с интегральными операторами наследственного типа. Эти уравнения могут быть исследованы, например, методом обобщенных определителей Хилла.
Достаточные условия устойчивости систем с диссипацией. Структура областей неустойчивости для распределенных систем может быть весьма сложной, особенно по частотным параметрам. Если система обладает диссипацией, то практический интерес представляют достаточные условия устойчивости со слабой зависимостью от возбуждающей частоты. Примером может служить нестрогий критерий устойчивости для особого случая, основанный на использовании критических значений коэффициентов возбуждения (см. гл. VII). Этот критерий отделяет область заведомой устойчивости, проходя через «носики» главных областей неустойчивости. Аналитическая запись этого критерия следует из формулы (41) гл. VII:
Здесь значения собственной частоты, коэффициентов демпфирования и критических параметров нагрузки для формы колебаний. Другой способ получения достаточных условий устойчивости основан на методе функционалов Ляпунова [54, 114]. Применительно к особому случаю этот метод приводит к строгим результатам, близким к тому, который содержится в критерии (62).