3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НИЗШИХ (ВЫСШИХ) СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ

Формула Релея дает тем лучшее приближение сверху к низшей собственной частоте, чем ближе к первой форме колебаний Однако в сложных системах удачно выбрать аппроксимацию трудно. Поэтому кажется естественным использовать методы итерации.

Для определения низших собственных частот и форм следует воспользоваться уравнениями (2) в форме Собственные значения нумеруют в порядке убывания:

Прямые итерации одного вектора. Начиная с произвольного вектора строится последовательность векторов по формулам Очевидно, что после выполнения итераций Если предположить, что с точностью до нормирующего множителя

Из этого соотношения следует, что при с увеличением числа итераций Скорость сходимости будет медленной, если близко к единице. Если имеет кратность I, то близка к некоторой линейной комбинации форм

Более быструю сходимость к минимальной собственной частоте дает процесс одновременной итерации двух векторов, соответствующих Строят две последовательности векторов где произвольный вектор. При этом и Для получения той же точности потребуется вдвое меньше итераций. В задаче (1) о собственных колебаниях эта схема эквивалентна итеративному применению формулы Релея гл. III]. Степенной метод. Для матрицы имеем

Здесь формы собственных колебаний; строки матрицы удовлетворяют условию нормировки степени матрицы

главным членом в сумме справа является матрица где Поэтому вместо итерирования вектора можно построить последовательность степеней матрицы причем при различных доминирующей является матрица которой все строки параллельны а все столбцы параллельны Скорость сходимости теперь определяется величиной и поэтому потребуется небольшое число шагов даже тогда, когда значения близкие. Во избежание переполнения или получения машинного нуля можно умножать каждую степень матрицы на подходящую степень двойки, чтобы наибольший по абсолютной величине элемент имел нулевой порядок. Так как след матрицы

то легко вычислить а векторы можно найти, используя свойство матрицы и условие нормировки.

Двусторонние оценки низших частот дают формулы следов [22], которые можно получить из алгебраического соотношения В частности для низшей частоты

Для получения оценок высшей частоты следует рассматривать следы степеней матрицы

Пример. Для безынерционной балки, несущей три одинаковые сосредоточенные массы уравнение (2) принимает вид

где

«Точное» значение безразмерной низшей частоты

Формула Релея при дает Вычислив следы

получим двустороннюю оценку для ннзшей частоты:

Вычисление следующих собственных частот и форм. Для отыскания последующих собственных частот и форм (кроме уже вычисленных можно применить методы исчерпывания. Например, при использовании преобразования подобия вычисления осуществляют по такой схеме. Выбираем неособенную матрицу такую, что В качестве можно взять матрицу отражения или матрицу, равную произведению вращений в плоскостях Тогда или Отсюда следует, что первый столбец матрицы равен и

Матрица В порядка имеет собственные значения Собственное значение находят одним из методов вычисления наибольшего собственного значения. Далее из равенства

определяют число у и затем форму