5. СТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Применение метода спектральных представлений. Стационарный и стационарно связанный векторный процесс допускает каноническое спектральное разложение в форме

Базисные функции определяемые как частное решение системы уравнений (16), имеют вид

где удовлетворяют уравнениям

Функции есть результат действия оператора на функцию Их можно трактовать так же, как образы Фурье операторов Например, для оператора заданного в форме (3), функции определяются как где соответственно элементы матриц В задачах теории колебаний функции имеют смысл динамических жесткостей. Функции (элементы матрицы Грина в пространстве Фурье), называемые передаточными функциями системы или динамическими податливостями, вычисляются как элементы матрицы, обратной матрице динамических жесткостей.

Таким образом, приходим к следующей форме записи разложения (15) для стационарных и стационарно связанных выходных процессов:

Разложение (19) обычно записывается в виде

Спектры выходного процесса связаны со спектрами входного процесса алгебраическими уравнениями

или в обратной форме

В силу стохастической ортогональности спектров спектры являются также стохастически ортогональными:

а взаимные спектральные плотности связаны соотношениями

или

Взаимную корреляционную функцию находят путем преобразования Фурье взаимной спектральной плотности выходного векторного процесса:

Метод спектральных разложений для процессов, удовлетворяющих условиям стационарности, позволяет довольно просто находить вероятностные характеристики производных случайного процесса. Например, по известным взаимным спектральным плотностям находят взаимные корреляционные функции обобщенных скоростей и ускорений:

Пример. Предположим, что система уравнений (3) допускает полное разделение обобщенных координат, что соответствует приведению исходной системы к главным координатам при некоторых ограничениях на свойства матрицы В (см. гл. VI). Запишем эти уравнения в виде

где парциальные собственные частоты и коэффициенты демпфирования. Функции образуют при этом диагональные матрицы где Тогда (22) и (23) можно привести к виду

По известным взаимным спектральным плотностям вычисляют взаимные корреляционные функции выходного процесса и его производных по формулам (24), (25), а также дисперсии и корреляционные моменты Последние находят по формуле

Вычисление корреляционных моментов. Интеграл в правой части (26) берется по теореме вычетов. В табл. 1 приведены выражения для различных типов спектральных плотностей При этом принято, что действительная функция частоты Это будет иметь место, например, если процессы отличаются постоянным множителем. Как частный случай в таблице содержатся значения дисперсий компонентов выходного процесса. В этом случае нужно положить

Вычисление интегралов типа (26) по теореме вычетов при числе полюсов в верхней полуплоскости, большем двух, довольно сложно. Для случая и дробно-рациональных спектральных плотностей интеграл (26) сводится к следующему:

где

1. Корреляционные моменты обобщенных координат

(см. скан)

причем все корни полинома лежат в левой полуплоскости. Очевидно, что интеграл (27) рационально выражается через коэффициенты и полиномов

где определитель порядка Элементы выражаются через коэффициенты

Определитель получается из заменой элементов первого столбца коэффициентами

Интеграл (27) можно вычислить также рекурентно:

если представить полином виде

Коэффициенты в (29) связаны с рекуррентными соотношениями [80]

Вычисления по формуле (29) могут быть проведены при помощи подпрограммы [80]. Здесь векторы коэффициентов полиномов соответственно; порядок полинома если если длина вектора выходное значение интеграла

Учет взаимных корреляций обобщенных координат. Корреляционные моменты в общем случае зависят от параметров затухания парциальных частот и характера спектральных плотностей действительную часть которых можно охарактеризовать параметром остроты максимума а и некоторой преобладающей частотой воздействия (см. табл. 1).

Анализ формул для позволяет сделать некоторые выводы относительно условий, когда взаимной корреляцией обобщенных координат можно пренебречь, т. е. когда

Предположим, что выполняются условия Если а велико, то при малом демпфировании условие (30) выполняется, если т. е. частоты должны быть не слишком близки друг к другу.

Если то условие (30) будет удовлетворено при малом демпфировании.

Если то условие (30) выполняется при близости частоты к одной из собственных частот и (или) при значительном удалении собственных частот друг от друга.

В остальных случаях взаимной корреляцией пренебрегать нельзя. Исследования показывают, что при малом демпфировании вкладом мнимой части взаимной спектральной плотности обобщенных сил можно пренебречь при выполнении условия