5. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Динамическая устойчивость сжатого стержня. Пренебрегая продольными колебаниями от действия силы запишем уравнение, которое в линейном приближении описывает изгибные колебания стержня

Здесь и в дальнейшем при обсуждении частных задач используются обозначения, принятые в предыдущих главах. Сила считается положительной при сжатии.

Уравнение (14) отличается от аналогичного уравнения (84) гл. VIII тем, что сила является функцией времени. Граничные условия для функции поперечного прогиба берутся в соответствии с данными таблиц гл. VIII. В простейшем случае (при шарнирном опирании концов стержня) имеем условия

Задача состоит в нахождении условий, связывающих параметры стержня и внешней силы, при которых решение поставленной задачи устойчиво.

Параметрические колебания упругого стержня как неустойчивость режима установившихся вынужденных продольных колебаний. Пусть и продольное перемещение точек оси стержня, жесткость сечения при растяжении (сжатии). С учетом наиболее существенных нелинейных членов уравнения совместных продольных и поперечных колебаний имеют вид

где продольная деформация оси стержня. Решение уравнении (16) должно удовлетворять граничным условиям

В случае установившихся продольных колебаний под действием силы получаем

где

Для исследования устойчивости решения (18) положим в уравнениях и линеаризируем уравнения относительно малых возмущений :

Второе уравнение обобщает уравнение (14) на случай, когда при исследовании устойчивости учитывают перемещения иевозмущенного движения. Это уравнение можно также представить в виде

где продольная сила в стержне, найденная с учетом невозмущенного движения. Если частота возбуждения со наименьшая собственная

частота продольных колебаний), то силу можно заменить ее квазистатическим приближением. В результате возвращаемся к уравнению (14).

Общие уравнения динамической устойчивости упругих систем. Пусть соотношение между частотами возбуждения и наименьшей собственной частотой в невозмущенном движении таково, что при нахождении невозмущенного напряженно-деформированного состояния допустимо использовать квазистатическое приближение и пренебречь перемещениями в этом состоянии. Тогда уравнения динамической устойчивости каждой конкретной упругой системы могут быть получены из уравнений нейтрального равновесия для задачи статической устойчивости добавлением даламберовых сил инерции и заменой усилий (напряжений) невозмущенного состояния соответствующими функциями времени. Если необходимо учитывать диссипацию, то в уравнения добавляют также диссипативные силы.

Иначе уравнения динамической устойчивости получают из уравнений свободных колебаний упругой системы при отсутствии внешних сил путем добавления параметрических членов, учитывающих параметрические силы, зависящие от времени. Эти члены могут быть взяты из уравнений нейтрального равновесия для соответствующей задачи статической устойчивости.

Пусть операторное уравнение свободных колебаний имеет вид

а уравнение нейтрального равновесия при действии статически приложенных параметрических сил

Здесь инерционный и квазиупругий операторы, введенные в гл. IX; линейный оператор, учитывающий параметрические силы в уравнениях нейтрального равновесия. Операторное уравнение динамической устойчивости получают тем объединения уравнений (22) и (23) и замены параметров нагрузки в операторе заданными функциями времени:

Область определения решений уравнения (24) обычно совпадает с областью определения оператора С, общего для уравнений (22) — (24).

Если параметрические силы заданы с точностью до двух множителей, один из которых а характеризует постоянную составляющую нагрузки, а второй составляющую, изменяющуюся во времени по закону то уравнение (24) можно записать так:

Здесь учтено то, что операторы для постоянной и переменной составляющих нагрузки различны.