5. СИСТЕМЫ, ВОЗБУЖДАЕМЫЕ ПРОЦЕССАМИ С КОНЕЧНОЙ ДИСПЕРСИЕЙ

Предварительные замечания. Для параметрических воздействий в виде белых шумов относительно моментных функций удается получить замкнутую систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Если случайное воздействие не является белым шумом, то уравнения относительно моментов имеют бесконечный порядок. Применение модифицированного метода моментных функций позволяет замыкать бесконечную систему уравнений относительно моментов на любом уровне и рассматривать устойчивость в

Параметрическое возбуждение экспоненциально-коррелированными процессами. В качестве примера рассмотрим стохастический аналог уравнения Матье — Хилла

где экспоненциально-коррелированный процесс (гл. XVII, табл. 1), который получается, если белый шум или Стратоновича) интенсивности поступает на вход линейного фильтра

Замыкая систему уравнений относительно моментов при помощи гипотезы квазигауссовости, после линеаризации приходим к системе (33). Размерность матрицы А равна 7 при при и 30 при Результаты

численного исследования устойчивости системы (45), (46) при различных представлены на рис. 1, б сплошными линиями. Штриховой линией нанесены результаты [118], полученные при условии узкополосности выходного процесса:

где спектральная плотность процесса

Система с двумя случайными параметрическими воздействиями. Применим модифицированный метод моментных функций к задаче об устойчивости уравнения (40), в котором процессы соответствуют зависимым экспоненциально-коррелированным процессам. Эти процессы получаются, если зависимые белые шумы пропустить через линейные фильтры:

Выбор модели белого шума (по Ито или Стратоновичу) при не влияет на вид уравнения Колмогорова и, следовательно, на выводы об устойчивости системы.

Некоторые численные результаты приведены на рис. отражающем влияние коэффициента корреляции на устойчивость системы при

Параметрическое возбуждение процессом со скрытой периодичностью. Параметрические резонансы возникают при выполнении определенных соотношений между частотами системы. Если параметрическое воздействие представляет собой случайный процесс со скрытой периодичностью, то можно ожидать, что аналогичные резонансные явления будут наблюдаться и в стохастической системе. Подробное обсуждение этого вопроса с использованием модифицированного метода моментных функций приведено в [15].

Системы с одной степенью свободы. Рассмотрим уравнение (45), в котором процесс со скрытой периодичностью (см. гл. XVII, табл. 1). Уравнение фильтра имеет вид

Интенсивность белого шума равна После применения гипотезы квазигауссовости и линеаризации приходим к системе (33). Размерность матрицы А равна 9 при при Результаты численного анализа при различных уровнях замыкания представлены на рис. 1, в сплошными линиями. Анализ результатов позволяет сделать следующие выводы. Во-первых, границы области устойчивости обладают относительной стабильностью по отношению к уровню замыкания системы для моментов (особенно в области аналога главного параметрического резонанса при Во-вторых, при увеличении обнаруживается более тонкая структура границы области устойчивости: в дополнение к аналогам главного параметрического резонанса и первого дробного резонанса наблюдаются аналоги дробных параметрических резонансов Заметим, что критерий устойчивости (47) (штриховая линия) (см. рис. 1, в) дает лишь область, аналогичную главному параметрическому резонансу.

Параметрическое возбуждение периодически модулированными процессами. Модифицированный метод моментных функций может быть применен также к системам, параметрически возбуждаемым периодически нестационарными воздействиями. Примером такого воздействия может служить стационарный процесс, модулированный периодической функцией. Используя метод моментов, приходим к системе уравнений типа (33); однако матрица А будет содержать члены, зависящие от времени. Дальнейшее исследование устойчивости может проводиться различными методами, например, методом матриц перехода (см. гл. VII).