10.3. Свойства и методы исследования нелинейных систем

Свойства нелинейных систем

Параметры систем, содержащих нелинейные элементы, зависят от входных величин этих элементов. Поэтому к нелинейным системам неприменим принцип суперпозиции: реакция нелинейной системы не равна сумме реакций на отдельные воздействия. Если, например, имеется нелинейная квадратичная зависимость то при что не равно сумме

К нелинейным системам неприменимо свойство коммутативности.

т. е. в системе нельзя менять местами между собой нелинейные элементы, а также нелинейные и линейные элементы.

Для исследования нелинейных систем нельзя применять преобразования Лапласа и Фурье и полученные на их основе передаточные функции, так как эти преобразования являются линейными. Анализ работы релейной системы (рис. 10.3) показывает, что особенностью нелинейных систем является возможность возникновения автоколебаний.

Устойчивость нелинейных сиетем определяется не только их структурой и параметрами (как в линейных системах), но и зависит от начальных отклонений относительно состояния равновесия (см. рис. 3.1, в). Это свойство объясняется тем, что параметры системы, определяющие устойчивость, зависят от воздействий.

Методы исследования нелинейных систем

Если система содержит несущественные нелинейности (см., например, рис. 1.18, б), то прибегают к линеаризации по методу касательных (гл. 1, п. 1.4) или по методу наименьших квадратов. Благодаря этому получают линеаризованную систему, которая исследуется с помощью методов, разработанных для линейных систем. Однако в тех случаях, когда требуется высокая точность исследования, возникает задача анализа влияния нелинейностей на процессы в линеаризованных системах.

Можно указать еще две задачи исследования нелинейных систем:

— анализ устойчивости существенно нелинейных систем, выявление автоколебаний и определение их амплитуды и частоты, определение точности системы и ее реакции на внешние воздействия;

— коррекция САУ с помощью нелинейных корректирующих устройств и синтез существенно нелинейных систем, обладающих заданными (желательными) динамическими характеристиками.

Для исследования нелинейных систем непригодны методы, разработанные для линейных систем. Для их исследования разработан ряд методов. Наиболее общим методом анализа и синтеза нелинейных систем является второй (прямой) метод Ляпунова. Однако для инженерной практики он представляется достаточно сложным. К методам исследования нелинейных систем, получивших практическое применение, относятся следующие методы.

Частотные методы, в частности, частотный метод исследования устойчивости В. М. Попова и метод гармонической линеаризации Л. С. Гольдфарба и. Е. П. Попова. Эти методы представляют собой реализацию частотных методов в нелинейных системах.

Метод фазовой плоскости (фазовых траекторий). Этот метод основывается на представлении движения системы на фазовой плоскости. Позволяет сравнительно просто исследовать динамику нелинейных систем второго порядка.

Метод припасовывания и его обобщение, метод точечных преобразований А. А. Андронова. Метод припасовывания состоит в том, что нелинейная характеристика заменяется несколькими линейными

участками. Решения, соответствующие этим участкам, сшиваются. Метод отличается сложностью вычислений, особенно, если порядок уравнения системы высок.

Графоаналитические методы. Среди них наиболее распространенным является метод построения переходных процессов Д. А. Башкирова. Он основан на разложении сложного дифференциального уравнения на элементарные уравнения, для которых предложен простой графический способ интегрирования. Метод пригоден для линейных и нелинейных систем практически любого порядка.

Численные методы. Сводятся к численному решению нелинейных дифференциальных уравнений. В последнее время широко применяются в связи с использованием цифровых вычислительных машин для исследования систем автоматического управления.

Метод малого параметра. Применим для анализа псевдолинейных (почти линейных) систем, в нелинейные дифференциальные уравнения которых входит некоторый (малый) параметр так, что при нулевом значении нелинейные уравнения вырождаются в линейные.

Метод статистической линеаризации, дающий возможность оценить точность нелинейной системы при случайных воздействиях. Сущность метода статистической линеаризации состоит в том, что нелинейный элемент заменяется эквивалентным линейным элементом, который одинаково с нелинейным, преобразует два первых статистических момента случайной функции: математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию (или среднее квадратическое отклонение). Метод одновременно предложен И. Е. Казаковым (СССР) и Р. Бутоном (США).

Моделирование на электронных моделирующих установках, позволяющее повысить точность и скорость исследования нелинейных систем. Моделирование оказывается наиболее эффективным методом исследования систем, когда из-за их сложности другие методы становятся малоприемлемыми.

Метод пространства состояний. Удобен для исследования нелинейных и сложных линейных систем. Предполагает применение ЭВМ.

Исследуем устойчивость нелинейных систем методом В. М. Попова и рассмотрим метод гармонической линеаризации, позволяющий выявить автоколебания системы и определить их амплитуду и частоту.