3.2. Алгебраические критерии устойчивости

К алгебраическим критериям устойчивости относятся критерий Гурвица и критерий Рауса. Они отличаются только по форме, поэтому здесь рассмотрим один из них — критерий Гурвица.

Критерий устойчивости Гурвица

Критерий, предложенный немецким математиком А. Гурвицем в 1895 г., формулируется следующим образом:

чтобы все корни характеристического уравнения степени

имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы при все определителей Гурвица были больше нуля.

При составлении определителей Гурвица необходимо, чтобы для уравнения степени было составлено определителей: последний (главный) определитель порядка, предпоследний порядка и т. д. Главный определитель (определитель порядка) составляется следующим образом:

1) по главной диагонали выписываются коэффициенты уравнения в порядке возрастания индексов, начиная со второго и до последнего

включительно:

2) столбцы вверх от диагонали дополняются коэффициентами с возрастающими индексами, а столбцы вниз от диагонали — коэффициентами с убывающими индексами;

3) места недостающих коэффициентов заполняются нулями. Определитель более низкого порядка получается из определителя более высокого порядка вычеркиванием одного столбца справа и строки снизу.

Рассмотрим примеры определения условий устойчивости Гурвица

Пример 1. Для уравнения 3-й степени

главный определитель Гурвица имеет вид

условие устойчивости Гурвица при

Если все коэффициенты уравнения положительны, то для устойчивости системы достаточно, чтобы т. е. чтобы произведение коэффициентов при средних членах уравиеиня было больше, чем произведение коэффициентов при крайних членах. Пример 2. Для уравнения 4-й степени

главный определитель Г урвица:

условие устойчивости Гурвица при

Из записанных неравенств видно, что если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то при выполнении третьего неравенства будут выполняться и другие неравенства, т. е. в этом случае для получения устойчивой системы достаточно, чтобы

Предельный коэффициент усиления системы

Из первой и второй глав (см., например, формулу (2.75)) следует, что для уменьшения ошибок в установившемся режиме необходимо повышать коэффициент усиления системы в разомкнутом состоянии Однако входит в коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы и поэтому влияет на ее устойчивость. При увеличении устойчивую систему превратить в неустойчивую. Коэффициент усиления системы соответствующий границе устойчивости системы, называется предельным коэффициентом усиления системы Для получения устойчивой системы необходимо, чтобы

Предельный коэффициент усиления можно найти с помощью критерия устойчивости Гурвица, если приравнять нулю определители Гурвица.

Методику определения рассмотрим на конкретном примере.

Пример 3. Пусть дана следящая система, имеющая передаточную функцию в разомкнутом состоянии!

Передаточная функция системы в замкнутом состоянии:

Коэффициенты знаменателя передаточной функции, в которые входит следует записать в явном виде относительно . В рассматриваемом случае, когда имеем . В другие коэффициенты не входит. Характеристическое уравнение замкнутой системы

При положительных коэффициентах условие устойчивости Гурвица имеет вид:

или, учитывая, что

Из уравнения, определяющего границу устойчивости системы, найдем предельный коэффициент усиления

Коэффициент запаса устойчивости по усилению. Коэффициент запаса устойчивости по усилению а представляет

собой отношение предельного коэффициента усиления разомкнутой системы к коэффициенту усиления системы, т. е. Коэффициент запаса о показывает, во сколько раз может быть увеличен коэффициент усиления системы, чтобы система стала неустойчивой. Обычно принято коэффициент запаса по устойчивости выражать в децибелах: . В этом случае запас устойчивости по усилению соответствует числу децибел, на которое нужно изменить усиление системы, чтобы она стала неустойчивой. Считается, что система должна обладать запасом устойчивости в пределах дБ.

С помощью критерия устойчивости Гурвица сравнительно просто исследовать устойчивость системы, описываемую уравнениями не выше порядка. Исследование же систем более высокого порядка с помощью критерия Гурвица становится сложным. Кроме того, недостатком критерия Гурвица является то, что трудно проследить, как влияет тот или иной параметр системы на ее устойчивость. Поэтому наряду с алгебраическим критерием устойчивости Гурвица применяются частотные критерии устойчивости.