10.7. Исследование устойчивости автоколебаний нелинейных систем методом гармонической линеаризации

Благодаря методу гармонической линеаризации становится возможным применение частотных методов для исследования нелинейных систем. Наиболее хорошо разработанными являются частотные методы исследования устойчивости автоколебаний — метод Л. С. Гольдфарба, являющийся аналогом амплитудно-фазового критерия устойчивости, и метод Е. П. Попова, основывающийся на критерии устойчивости Михайлова. Задача исследования устойчивости автоколебаний методом Гольдфарба упрощается, если пользоваться логарифмическими частотными характеристиками. Ниже решается задача выявления возможных автоколебаний, исследования их устойчивости, определения амплитуды и частоты автоколебаний применительно к системе с одним безынерционным нелинейным элементом методом ЛЧХ.

Исследование автоколебаний методом логарифмических частотных, характеристик

Предварительно структурную схему системы преобразуют так, что все линейные элементы объединяют в линейную часть с комплексной передаточной функцией и систему представляют в виде последовательного соединения нелинейного элемента и линейной части (рис. 10.17). Нелинейный элемент заменяют эквивалентным линейным с эквивалентным комплексным коэффициентом усиления Общая комплексная передаточная функция нелинейной системы в разомкнутом состоянии

Предположим, что замкнутая нелинейная система находится на границе устойчивости и в ней имеют место незатухающие колебания. АФЧХ разомкнутой системы в этом случае, согласно амплитудно фазовому критерию устойчивости, должна проходить через точку с координатами Отсюда условие существования в замкнутой системе колебаний имеет вид

или

где

Левая часть уравнения (10.20) является комплексной передаточной функцией линейной части системы с учетом нормирующего множителя нелинейного элемента, а правая — выражением, обратным нормированному ЭККУ нелинейного элемента. Записывая в показательной форме левую и правую части выражения (10.20):

Рис. 10.17. Представление нелинейной САУ в виде последовательного соединения нелинейного элемента и линейной части системы.

Из последней формулы видно, что в системе возможны колебания, если одновременно удовлетворяются два условия:

или в логарифмическом масштабе

и

Первое условие будет выполняться при пересечении логарифмических амплитудных характеристик линейной части и нелинейного элемента, а второе условие — при пересечении их фазовых характеристик. Колебания в системе будут возможны, если точка пересечения амплитудных характеристик и точка пересечения фазовых характеристик соответствуют одной и той же частоте.

Методика построения логарифмических частотных характеристик линейной части системы не требует пояснений. Для построения логарифмических частотных характеристик нелинейного элемента найдем выражения для ее амплитудной и фазовой характеристик. Имея в виду, что

получаем следующее выражение для логарифмической амплитудной характеристики нелинейного элемента:

Выражение для фазовой характеристики нелинейного элемента

следовательно,

В случае безынерционных нелинейных элементов, как следует из формул (10.25) и (10.26), амплитудные и фазовые характеристики не зависят от частоты и представляют собой прямые, параллельные оси абсцисс.

На рис. 10.18. изображены ЛАЧХ и фазо-частотная характеристика линейной части системы, а также

Рис. 10.18. Исследование автоколебаний нелинейной системы методом ЛЧХ.

нанесено семейство амплитудных и фазовых характеристик нелинейного элемента при различных значениях

Для исследования возможности автоколебаний, определения их устойчивости и параметров удобно пользоваться фазовой границей устойчивости (ФГУ) колебаний [59]. Для построения ФГУ, в соответствии с условием (10.23), отмечаются точки пересечения амплитудных характеристик линейной части и нелинейного элемента (точки и сносятся по вертикали на соответствующие фазовые характеристики нелинейного элемента в точки Кривая, проведенная через эти точки, и является фазовой границей устойчивости колебаний. Если фазовая характеристика линейной части пересекает кривую ФГУ (см., например, точку В, рис. 10.18), то это значит, что амплитудные характеристики и фазовые характеристики линейной части и нелинейного элемента пересекаются в точках (С и В), соответствующих одной и той же частоте Следовательно, при этом одновременно удовлетворяются условия возникновения колебаний (10.23) и (10.24).

Частота автоколебаний определяется непосредственно по шкале частот, а относительная амплитуда — интерполяцией между значениями на ближайших характеристиках нелинейного элемента, расположенных выше и ниже точки пересечения С. Согласно рис. 10.18 в нелинейной системе возможно возникновение автоколебаний с частотами и относительными амплитудами соответственно

Условие устойчивости автоколебаний рассмотрим на примере автоколебаний (точки пересечения характеристик В, С). Оно состоит в следующем. При увеличении амплитуды автоколебаний до

(пересечение амплитудных характеристик пере мещается из точки С в точку система должна стать устойчивой, чтобы амплитуда автоколебаний уменьшилась до прежнего значения Это требование будет выполняться, если на частоте соответствующей точке пересечения амплитудных характеристик, фазовая характеристика линейной части идет выше кривой ФГУ, как показано на рис. 10.18. При уменьшении же относительной амплитуды до (пересечение амплитудных характеристик перемещается из точки С в точку система должна стать неустойчивой, чтобы амплитуда автоколебаний увеличилась до Данное требование будет выполняться, если на частоте соответствующей точке пересечения амплитудных характеристик, фазовая характеристика проходит ниже кривой ФГУ, как показано на рис. 10.18. Таким образом, согласно приведенному условию автоколебания с параметрами будут устойчивы, а с параметрами «и и а — неустойчивы. Применительно к которых части не имеет участников с положительным наклоном, это общее правило дает простой способ исследования устойчивости автоколебаний. Если при увеличении амплитудная характеристика нелинейного элемента перемещается вниз, то кривая ФГУ штрихуется снизу (как показано на рис. 10.18), если же она перемещается вверх, то — сверху. Автоколебания будут устойчивыми, если фазовая характеристика линейной части системы при увеличении со пересекает фазовую границу устойчивости, переходя с заштрихованной стороны на незаштрихованную.

На рис. 10.18 точка В пересечения фазовой характеристики линейной части системы с кривой ФГУ при соответствует устойчивым автоколебаниям с относительной амплитудой а точка пересечения соответствует неустойчивым колебаниям на частоте с относительной амплитудой

В случае применения безынерционных нелинейных элементов с однозначной нелинейностью исследование автоколебаний системы несколько упрощается. В этом случае коэффициент гармонической линеаризации поэтому в соответствии с формулами (10.25) и (10.26)

т. е. амплитудные характеристики будут представлять собой семейство параллельных оси абсцисс прямых, соответствующих различным значениям а фазовая характеристика, а следовательно, ФГУ для всех однозначных нелинейностей совпадают с линией —180°.

В качестве примера исследуем устойчивость и автоколебания системы с релейным элементом, имеющим однозначную характеристику с зоной нечувствительности (см. табл. 10.1). Пусть и фазо-частотная характеристика линейной системы имеют вид, изображенный на рис. 10.19.

Рис. 10.19. К примеру исследования автоколебаний системы с релейным элементом, имеющим однозначную характеристику с зоной нечувствительности.

Пользуясь выражением для логарифмической амплитудной характеристики нелинейного элемента

полученной на основании формулы (10.14), или с помощью кривой (табл. 10.1), можно построить семейство логарифмических характеристик нелинейного элемента. Особенностью релейного элемента с зоной нечувствительности является то, что с увеличением значение вначале уменьшается — амплитудная характеристика нелинейного элемента перемещается вниз (характеристики до значения при а затем при дальнейшем увеличении увеличивается — амплитудная характеристика перемещается вверх (характеристики Фазовые характеристики нелинейного элемента при любом значении и ФГУ совпадают с линией —180°.

Для определения правой граничной частоты ФГУ точку пересечения ЛАЧХ линейной части с нижней граничной амплитудной характеристикой семейства амплитудных характеристик нелинейного элемента (точка сносим по вертикали на фазовую характеристику нелинейного элемента в точку совпадает с отрезком линии до частоты соответствующей найденной точке Штриховка ФГУ снизу соответствует перемещению амплитудной характеристики нелинейного элемента вниз с увеличением а штриховка сверху — перемещению характеристики вверх.

Из рис. 10.19 видно, что фазо-частотная характеристика линейной части пересекается с ФГУ, следовательно, в системе возможны автоколебания на частоте

В рассматриваемой системе возможны автоколебания с относительной амплитудой значение которой находится между

и с относительной амплитудой которая определяется интерполяцией между значениями Амплитудная характеристика относится к той части семейства амплитудных характеристик нелинейного элемента, в которой амплитудная характеристика с увеличением перемещается вниз, а характеристика к той части, где с увеличением амплитудная характеристика перемещается вверх. Поэтому, учитывая, что фазовая характеристика линейной части при увеличении пересекает ФГУ сверху, в соответствии с приведенным выше правилом, автоколебания системы с относительной амплитудой будут устойчивы, а с относительной амплитудой неустойчивы.

На практике не обязательно строить семейство амплитудных характеристик нелинейного элемента, а можно ограничиться построением лишь характеристики с наименьшим значением (в рассматриваемом примере . В этом случае для нахождения амплитуды автоколебаний непосредственно по рисунку определяет ординату ЛАЧХ линейной части системы на частоте дБ. По условию (10.23) дБ, откуда По графику для релейной характеристики с зоной нечувствительности (табл. 10.1) определяем значения относительной амплитуды возможных автоколебаний: Пользуясь правилом определения устойчивости автоколебаний, находим, что автоколебания с относительной амплитудой являются устойчивыми, а с относительной амплитудой — неустойчивыми. Амплитуда устойчивых автоколебаний на входе нелинейного элемента .