Оценка точности системы по среднеквадратической ошибке (СКО)

Если задающее воздействие приложенное к линейной системе (рис. 7.2), - случайная стационарная функция, то управляемая величина и ошибка воспроизведения системы являются также случайными стационарными функциями. Ясно, что в этих условиях о точности системы можно судить не по мгновенным, а лишь по некоторым средним значениям ошибки. При статистическом методе анализа и синтезе динамическая точность системы определяется среднеквадратическим значением ее ошибки, т. е. квадратным корнем из среднего значения квадрата ошибки:

Рис. 7.2. Структурная схема САУ.

Рис. 7.3. К понятию о среднеквадратической ошибке.

которым пользуются как критерием, определяющим точность или качество работы системы при наличии стационарных случайных воздействий (связь между и ее иллюстрируется рис. 7.3).

Если известна корреляционная функция или спектральная плотность ошибки, то в соответствии с выражением (7.11) дисперсия ошибки может быть вычислена по формуле

Оптимальной передаточной функцией при использовании критерия СКО является такая передаточная функция системы, при которой среднеквадратическая ошибка имеет минимум.

Отметим достоинства и недостатки оценки точности системы с помощью СКО. При принятии СКО в качестве критерия точности анализ и синтез системы получается сравнительно простой. С помощью СКО (или дисперсии) возможно оценить сверху вероятность появления любой ошибки. Так, например, при нормальном законе распределения ошибок вероятность того, что ошибка (отклонение от среднего значения) превысит весьма мала (меньше 0,003). Согласно критерию СКО нежелательность ошибки возрастает с ее величиной.

Имеется большой класс систем, для которых критерий СКО эффективен. Однако критерий СКО, как и всякий другой критерий, не является универсальным. Он обеспечивает малое значение лишь средней, а не мгновенной ошибки, поэтому в тех системах, где недопустимы большие, хотя и кратковременные ошибки, желательно применение другого критерия. Этот недостаток критерия СКО особо проявляется при расчете САУ с обратной связью. Выражения для корреляционной функции, спектральной плотности и среднеквадратического значения ошибки справедливы только для больших промежутков времени. Поэтому ошибки системы, связанные со сравнительно кратковременными переходными процессами в ней, практически не влияют на среднеквадратическое значение ошибки, т. е. ошибки, усредненной за бесконечно большой промежуток времени. На практике же часто встречаются системы, работающие на ограниченном участке времени, когда нельзя пренебречь ошибками, связанными с переходным процессом. Как правило, если параметры системы выбраны из условия получения минимума СКО при работе на большом промежутке времени, то замкнутая система имеет слабозатухающий переходный процесс. Поэтому на практике задачу о рациональном выборе передаточной функции системы

Рис. 7.4. Структурная схема системы, на вход которой поступает один полезный сигнал.

Рис. 7.5. Структурная схема системы, на вход которой поступают задающее и возмущающее воздействия.

мы решают не на основе чистого принципа минимума СКО, а с учетом ошибок в режиме переходных процессов.

Покажем, как может быть найдена спектральная плотность ошибки для случая, когда на вход системы поступает только полезный сигнал (задающее воздействие), и для случая, когда система находится под влиянием двух стационарных случайных воздействий: задающего возмущающего (помехи), приложенных как к различным, так и к одной точке системы.