4.2. Определение переходной и установившейся составляющих ошибки методом разложения ее изображения на элементарные дроби

О показателях качества системы в переходном и установившемся режимах можно судить не только по изменению управляемой величины но и по изменению ошибки так как а в частном случае при Анализ ошибки дает непосредственный ответ о точности системы в переходном и установившемся режимах и позволяет определить пути уменьшения . В случае необходимости кривая переходного процесса может быть построена на основании формулы или в общем случае — формулы

Рассмотрим один из методов определения — метод разложения изображения ошибки системы на элементарные дроби. В соответствии с формулой (2.61) изображение ошибки Обычно передаточная функция системы по ошибке

где — порядок астатизма системы; — сокращенные обозначения полиномов числителя и знаменателя и изображение по Лапласу задающего воздействия

представляют собой дробно-рациональные функции.

Изображение ошибки

в этом случае также является дробно-рациональной функцией. Разлагая дробно-рациональную функцию на простые дроби, получим для простых (некратных) полюсов

где — полюсы изображения задающего воздействия а — полюсы передаточной функции системы по ошибке При простых

полюсах

где

В соответствии с формулой (4.4) ошибка (функция времени) системы

т. е. ошибка состоит из двух составляющих

Составляющая при аналитическом решении уравнения есть частное решение и представляет вынужденную (установившуюся) составляющую ошибки. Она, как видно из формул (4.5) и (4.7), определяется полюсами изображения задающего воздействия (корнями уравнения а также передаточной функцией системы по ошибке и изображением задающего воздействия а

Величина представляет собой переходную составляющую ошибки, вызванную изменением а при нулевых начальных условиях (при , т. е. до момента изменения ). Она определяется полюсами передаточной функции системы по ошибке (корнями характеристического уравнения и начальными значениями ее компонент. Корни характеристического уравнения определяются известными методами (при необходимости с помощью а начальные Значения компонент — с помощью формулы (4.5).

Пример 1. Передаточные функции элементов системы (рис. 4.2, а):

Определить переходную и вынужденную составляющие ошибки системы при Построить переходную функцию системы

1. Определяем передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии;

2. Находим передаточную функцию системы по ошибке:

3. Записываем характеристическое уравнение замкнутой системы;

Рис. 4.2. Структурная схема и ее переходная функция (б).

или после подстановки коэффициентов:

В определяем его корни:

4. Начальное значение компоненты переходной составляющей ошибки при а в соответствии с формулой (4.5):

Подставив в формулу (4.8) соответствующие значения коэффициентов и корней получим:

Проверяем правильность вычисленных значений

5. Переходная составляющая ошибки системы:

Компоненты переходной составляющей ошибки рзображены на рис. 4.2, б кривыми 1 к 2. Кривая полученная в результате сложения ординат компонент показана цифрой 3.

6. Определяем Записываем уравнение и находим его корень . В соответствии с формулой (4.5) находим начальное значение компоненты

или после подстановки значения корня

т. е. вынужденная составляющая ошибки и поэтому

Переходная функция изображена на рис. 4.2, б кривой 4.