Логарифмический частотный критерий устойчивости

Построение АФЧХ сложных систем с целью исследования их устойчивости требует большой затраты времени. Этот процесс существенно упрощается при применении логарифмических частотных характеристик Простота "И наглядность метода объясняются простотой построения логарифмических частотных характеристик и очевидной связью параметров системы с видом этих характеристик. Применение метода ЛЧХ дает возможность наглядно видеть влияние того или иного параметра системы на ее устойчивость и переходный процесс, а также позволяет сравнительно просто определить характеристику корректирующего устройства, обеспечивающего требуемые показатели качества системы. Логарифмический частотный критерий устойчивости основывается на амплитудно-фазовом критерии устойчивости и представляет по существу более удобную его формулировку.

Рассмотрим только случай, когда САУ в разомкнутом состоянии устойчива. Вначале выясним критерий устойчивости для САУ первого рода, имеющих наиболее простые по своей форме частотные характеристики.

На рис. 3.13, а изображены АФЧХ разомкнутых систем, отличающихся лишь коэффициентами усиления Из них согласно амплитудно-фазовому критерию устойчивости, соответствует устойчивой, АФЧХ 2 — неустойчивой системе в замкнутом состоянии.

Рис. 3.13. Частотные характеристики систем, отличающихся коэффициентом усиления: а - АФЧХ; б - ЛЧХ.

На рис. 3.13, б приведены ЛЧХ, соответствующие АФЧХ, изображенным на рис. 3.13, а. Поскольку системы отличаются лишь коэффициентом усиления то их ЛФЧХ совпадают, а системы с располагается выше, чем системы с Из рис. 3.13, а следует, что устойчивость системы обеспечивается, если аргумент (сос) комплексной передаточной функции системы при частоте среза сос по абсолютной величине меньше 180°. Применительно к ЛЧХ это условие устойчивости можно сформулировать следующим образом: система автоматического управления, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива и в замкнутом состоянии, если ордината логарифмической фазочастотной характеристики (аргумент комплексной передаточной функции) на частоте среза сос системы по абсолютной величине меньше, чем 180°, т. е. если .

Система с (рис. 3.13, б) устойчива, поскольку , а система с неустойчива, так как .

Система находится на границе устойчивости, если ее АФЧХ в разомкнутом состоянии проходит через точку с координатами т. е. если на частоте на которой система вносит запаздывание модуль равен 1. Поскольку то система будет находиться на границе устойчивости, если на частоте будет пересекать ось 0 дБ, т. е. если системы, находящейся на границе устойчивости, изображены на рис. 3.14.

Рис. 3.14. К определению запаса устойчивости по амплитуде и фазе.

Рис. 3.15. Частотные характеристики условно устойчивой системы: а - АФЧХ; б - ЛЧХ; - ЛАЧХ при различных коэффициентах усиления ; - ЛФЧХ системы.

Запас устойчивости по амплитуде о определяется как число децибел, на которое нужно увеличить усиление системы, чтобы система достигла границы устойчивости. Запас устойчивости по фазе у определяется как разность между 180° и абсолютным значением аргумента КПФ при частоте среза Определение запаса устойчивости по амплитуде и по фазе показано на рис. 3.14.

Для систем с клювообразными и более сложными по форме АФЧХ практически удобнее пользоваться формулировкой логарифмического частотного критерия устойчивости, вытекающей из правила о числе переходов. На рис. 3.15, а изображена АФЧХ условно устойчивой системы, а на рис. 3.15, б — логарифмическая амплитудная и логарифмическая фазочастотная характеристики, соответствующие этой АФЧХ. Отрицательным переходам АФЧХ через отрицательную вещественную ось снизу вверх будут соответствовать переходы логарифмической ФЧХ через линию — 180° сверху вниз, которые будем считать также отрицательными. Положительным переходам АФЧХ через отрицательную вещественную ось сверху вниз будут соответствовать переходы ЛФЧХ через линию —180° снизу вверх.

Принимая во внимание, что при положительна, логарифмический критерий устойчивости на основании правила о числе переходов можно сформулировать следующим образом: система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если разность между числами положительных и отрицательных переходов фазочастотной характеристики через прямую —180° равна нулю в диапазоне частот, в котором логарифмическая амплитудно-частотная характеристика положительна.

Логарифмические амплитудно- и фазочастотные характеристики изображенные на рис. 3.15, б, соответствуют устойчивой системе. На том же рисунке той же системы, но с меньшим и большим коэффициентом усиления соответствуют неустойчивому режиму системы.

С помощью критериев устойчивости можно определить, устойчива ли система при заданных ее параметрах (постоянных времени, коэффициентах усиления). Однако при проектировании САУ часто ставится вопрос по-иному: заданы все параметры системы, за исключением одного или двух, которые могут изменяться в широких пределах; требуется определить, при каких значениях этих параметров система устойчива. Некоторые параметры системы могут изменяться также в процессе эксплуатации. Поэтому важно знать, сохранит ли система устойчивость при возможных изменениях этих параметров.

Поставленные задачи могут быть решены, если установить область возможных изменений тех или иных параметров (или коэффициентов характеристического уравнения) системы, при которых еще не нарушается ее устойчивая работа. Для построения областей устойчивости разработаны специальные методы: метод диаграмм Вышнеградского и метод -разбиений.